Un acercamiento coalgebráico a los números reales

Abstract

Este trabajo tiene tres partes fundamentales las cuales describiremos a continuación. En la primera parte veremos cómo se pueden definir los conceptos de F-coálgebra y homomorfismo de F-coálgebra desde la perspectiva de la teoría de categorías. En seguida precisamos que por cada endofuntor F en una categoría C podemos obtener una categoria coalg(F); la cual está caracterizada por un morfismo c: X! F(X) llamado estructura coalgebraica. Estaremos interesados solo en el caso en que esta categoría tenga objeto final y a ese objeto final lo llamaremos F-coálgebra final, el cual, nos muestra directamente cómo se comporta cualquier F-coálgebra de esta categoría. Como ejemplo examinaremos como se puede dotar el conjunto de todas las sucesiones infinitas de elementos de un conjunto A con una estructura coalgebraica. En particular, mostraremos que se pueden presentar los números reales en el intervalo [0,1) como una F-coálgebra final según el articulo [16]. En la segunda parte de este trabajo vamos a ver con todo detalle algunos de los resultados del articulo [1], en el cual, los autores logran definir unos endofuntores apropiados en la categoría Set que permiten de manera conveniente dotar algunos subconjuntos de R como el intervalo [0; 1), el espacio de Baire y el conjunto de Cantor, con ciertas estructuras coalgebraicas bastante buenas con las que es posible probar que son F-coálgebra finales. Adicionalmente, gracias a que estas estructuras coalgebraicas son "tan apropiadas ¿se logra por medio de las definiciones adecuadas presentar en forma muy similar estos resultados en la categoría Pos: Aquí nos tomaremos el trabajo de hacer todo esto con detalle, daremos algunas observaciones para obtener los corolarios 1 y 2 los cuales no aparecen en este artículo. Una razón por la cual es más conveniente ver estos resultados en la de la categoría Pos que en la categoría Set es el hecho de que existe una gran relación entre el orden y la topología de estos conjuntos; razón por la cual los autores de [1] deciden dar por hecho que todo lo hecho en Pos se puede pasar de manera sencilla a Top. En la tercera parte de este trabajo logramos pasar estos resultados de la categoría Pos a la categoría Top tomando algunos teoremas adicionales que se encuentran en el artículo [13] y los relacionamos con los teoremas que se tienen ya en Pos: y finalmente condensar estos resultados en los corolarios 3,4 y 5.