Construcción numérica de datos iniciales para el problema de valor inicial en relatividad general mediante un método no-elíptico.

Abstract

Una de las grandes virtudes de la teoría de la relatividad general radica en que ésta permite describir matemáticamente el comportamiento del espacio y del tiempo, o simplemente del espacio-tiempo, mediante la formulación de un problema de valor inicial. Sin embargo, debido al carácter geométrico de la teoría, encontrar datos iniciales que sirvan como base para un problema de evolución es una tarea bastante compleja matemáticamente. Tradicionalmente, la estrategia para encontrar estos datos iniciales consiste en reducir las ecuaciones que determinan el dato inicial, comúnmente conocidas en la literatura como ecuaciones de restricción o constraints, a un sistema elíptico de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Si bien este enfoque ha sido exitoso para encontrar datos iniciales de cierto tipo de espacio-tiempos, es bien sabido por parte de la comunidad científica que estos métodos acarrean diversos problemas cuando son utilizados para modelar escenarios más relevantes, como por ejemplo, espacio-tiempos con agujeros negros rotantes. Por lo anterior, en este proyecto de investigación implementamos un nuevo método geométrico, el cual permite encontrar familias de datos iniciales mediante la formulación de los constraints como un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. En particular, en este proyecto nos planteamos como objetivo principal generar numéricamente datos iniciales correspondientes a perturbaciones de un agujero negro rotante en vacío con momento angular pequeño, prestando especial atención a su comportamiento asintótico en regiones lejanas del agujero negro. Para llevar a cabo el objetivo anterior, en este trabajo introdujimos un nuevo método numérico basado en una combinación de un método espectral y un método de elementos finitos (con elemento infinito) para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dominios no acotados, compuestos por un producto cartesiano entre intervalo no acotado de los números reales y la superficie de la dos-esfera unitaria.