Un estudio sobre los números reales de Bachmann desde el análisis intervalar y su aporte a la formación de profesores de matemáticas.

Abstract

El presente trabajo de grado, realizado como requisito parcial para optar al título de Licenciado en Matemáticas y Física, tiene como punto de salida una insuficiencia presentada por Paul Bachmann (1892) sobre el conjunto de los números racionales, para solucionar determinadas tareas aritméticas. Este aspecto, se ve reflejado en el trabajo con cierto tipo de ecuaciones cuadráticas que no tienen solución en tal conjunto numérico. El trabajo de Bachmann no solamente se restringe a mostrar tales carencias, sino que el autor busca precisar una definición del número real, a través de un sistema aritmético conformado por intervalos encajados. Es por ello, que nuestro objetivo principal es abordar la significación que le atribuye a tal concepto, desde una perspectiva histórico ¿ epistemológica, con el fin de realizar una reconstrucción que acerque a los educandos y docentes en ejercicio de matemáticas en educación media, a la naturaleza del número real, y resalte la importancia de la historia de las matemáticas como fundamento disciplinar en su quehacer académico. Para ello, utilizamos el análisis intervalar, teoría desarrollada por Moore (1966), como un puente para realizar esa reconstrucción, y analizar desde un paradigma descriptivo, cómo el concepto de número real involucra las nociones de límite, convergencia y continuidad; donde por medio de la especificación de ciertos parámetros, podemos visualizar geométricamente en un plano racional, cómo se comportan las clases de sucesiones de intervalos encajados de la recta real. Y de esta manera, generar determinadas curvas por medio de esas clases, que nos permitan acercarnos tanto como se desee a un punto real en el plano racional, las cuales, no deben ser necesariamente regulares en su comportamiento; sino que conforman infinitas formas de aproximación. Para esto, mostraremos que las rectas, son una gran opción para representar los números reales bajo esta teoría. Este trabajo fue realizado gracias a una profundización en el enfoque didáctico que utiliza Bachmann, por medio de una traducción libre que realicé de su obra en alemán, que me permitió ver cómo relaciona conceptos que modernamente ya conocemos, y mostrar que realmente su idea no verifica al número real como objeto matemático. Aspecto que es realmente fructífero para este estudio.