Sobre la existencia de soluciones periódicas en el problema de N-cuerpos poligonal.

Abstract

En este documento se estudia la existencia de familias de soluciones peri ́odicas en una configuración particular del problema de N-cuerpos en la cual, para cada instante de tiempo, (N −1)-cuerpos primarios de igual masa m, se mueven en los v ́ertices de un pol ́ıgono regular, y el N- ́esimo cuerpo de masa M ≥ 0 se mueve sobre el eje que pasa por el centro de masas del sistema y que es perpendicular al plano de movimiento de los otros cuerpos. En el caso N = 3 la configuraci ́on anterior corresponde al problema espacial isósceles de tres cuerpos. Nuestro enfoque se basa en los resultados obtenidos en [21] para el caso N = 3, en donde a través de un método de continuación numérica se comprueba la existencia de ́orbitas peri ́odicas que emergen de la soluci ́on correspondiente a ubicar el cuerpo de masa M en el centro de masas del sistema mientras que los cuerpos primarios se mueven de acuerdo a las soluciones de La- grange para el problema de (N −1)-cuerpos. A las familias de ́orbitas peri ́odicas encontradas en [21] se le asocia un interesante diagrama de condiciones iniciales y periodos que contiene dos ramas de soluciones periódicas caracterizadas de acuerdo al periodo y la simetr ́ıa de la ́orbita del N- ́esimo cuerpo respecto al centro de masas. Usando t ́ecnicas variacionales y el m ́etodo de continuaci ́on de Poincar ́e, en este trabajo se proporciona un análisis detallado de unas de las curvas embebidas en dichas ramas y además se extienden los resultados al caso N > 3.