Formas de razonamiento que muestran estudiantes de primer año de ingeniería en la resolución de problemas del álgebra lineal con medios digitales Tesis doctoral Leonel Monroy Guzmán Universidad del Valle Facultad de Educación y Pedagogía Doctorado Interinstitucional en Educación Énfasis Educación Matemática 2023 Formas de razonamiento que muestran estudiantes de primer año de ingeniería en la resolución de problemas del álgebra lineal con medios digitales Leonel Monroy Guzmán Dr. David Benítez Mojica Director Trabajo de Grado Dr. Manuel Santos Trigo Co director Trabajo de Grado Universidad del Valle Facultad de Educación y Pedagogía Doctorado Interinstitucional en Educación Énfasis Educación Matemática 2023 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 2 Agradecimientos En primer lugar, deseo expresar mi agradecimiento a Dios por su guía y fortaleza. Su presencia en mi vida ha sido la principal fuente de inspiración. Le agradezco sobre todo por sus bendiciones y las oportunidades que me ha concedido. Un especial agradecimiento para mi amada familia, especialmente a Sandra Lorena y Ana Isabel, quienes han sido mi apoyo incondicional durante todo este proceso. A mi familia en general, les agradezco de corazón por su paciencia y constante aliento. Sus oraciones, apoyo y motivación han sido fundamentales para superar los desafíos y alcanzar este importante logro. Quiero extender el agradecimiento especial a mis respetados tutores, el Doctor Manuel Santos Trigo y el Doctor David Benítez. Su amistad, dedicación, conocimiento y orientación han sido invaluables en cada etapa de este proyecto. Les agradezco por su tiempo y valiosas orientaciones, las cuales han contribuido significativamente a mi crecimiento personal y profesional. Asimismo, agradezco a los Doctores Héctor Jairo Martínez, Jorge Enrique Fiallo y Marco Santillán por su lectura del trabajo y sus invaluables aportes a la evolución del documento. También agradezco a los profesores del DIE por sus enseñanzas y orientaciones, así como a mis compañeros Arnulfo, Yonathan y Wilmer por su compañerismo y apoyo. Quiero agradecer al Instituto GeoGebra Cali y, en particular, a los profesores César Cuartas, Hendel Yaker y Aníbal Sossa, por permitirme involucrar sus espacios académicos en la realización de los dos ciclos de investigación. Agradezco a la Universidad del Valle por su auspicio y, en particular, a la Facultad de Educación y Pedagogía, y a la Facultad de Ciencias Naturales y Exactas. Mi agradecimiento se extiende a todas aquellas personas que, de una u otra manera, me han brindado su apoyo y aliento a lo largo de este camino. Sus palabras de ánimo, gestos de amistad y aliento constante han sido un verdadero motor para superar los obstáculos y perseverar en la consecución de esta meta académica. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 3 Resumen Esta investigación combinó diseño de intervención y análisis de la resolución de problemas de álgebra lineal con medios digitales. Se realizó una revisión bibliográfica para identificar problemáticas relacionadas con enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal, así como el papel de las tecnologías digitales en este contexto. Se encontró que el enfoque tradicional de dedicar tiempo a operaciones rutinarias es la principal fuente de problemas. Se abordó la problemática planteada por Sierpinska, quien distingue tres formas de razonamiento asociadas a diferentes lenguajes en la resolución de problemas de álgebra lineal. La flexibilidad entre estas formas de razonamiento es crucial para construir aprendizaje significativo. Se diseñaron actividades para un curso universitario de álgebra lineal buscando fomentar los procesos centrales del pensamiento matemático y la flexibilidad en el razonamiento. Las preguntas de investigación se centraron en las características emergentes del razonamiento al utilizar medios digitales, las características del diseño de intervención que promueven la fluidez entre las formas de razonamiento y las nuevas demandas en la resolución de problemas utilizando tecnologías digitales. El marco teórico e interpretativo se basa en resolución de problemas matemáticos con medios digitales. El análisis se centró en las características de las actividades que fomentaron la flexibilidad en el razonamiento y en las producciones de los estudiantes, que involucraban el uso de tecnologías digitales y diferentes formas de razonamiento. Los resultados principales destacan características matemáticas, didácticas, tecnológicas e históricas en las actividades del diseño de intervención, las cuales generaron nuevas demandas en la resolución de problemas de álgebra lineal. Palabras claves: Matemáticas, Resolución de problemas, Tecnología digital, Educación matemática. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 4 Abstract This research combined intervention design and analysis of linear algebra problem solving with digital media. A bibliographic review was carried out to identify problems related to the teaching and learning of linear algebra, as well as the role of digital technologies in this context. The traditional approach of spending time on routine operations was found to be the main source of problems. The problem posed by Sierpinska is addressed, who distinguishes three forms of reasoning associated with different languages in solving linear algebra problems. The flexibility between these forms of reasoning is crucial to construct meaningful learning. Activities are designed for a linear algebra university course seeking to promote the central processes of mathematical thought and flexibility in reasoning. Research questions focused on emerging features of reasoning when using digital media, intervention design features that promote fluency between forms of reasoning, and new demands on problem solving using digital technologies. The theoretical and interpretive framework is based on solving mathematical problems with digital media. The analysis focused on the characteristics of the activities that fostered flexibility in students' thinking and productions, which involved the use of digital technologies and different forms of reasoning. The main results highlight mathematical, didactic, technological, and historical characteristics in the intervention design activities, which generate new demands in solving linear algebra problems. Keywords: Mathematics, Problem solving, Digital technology, Mathematics education. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 5 Tabla de contenido Resumen ......................................................................................................................................... 3 Abstract .......................................................................................................................................... 4 Índice de tablas .............................................................................................................................. 9 Índice de figuras ........................................................................................................................... 11 Introducción ................................................................................................................................. 12 Capítulo 1: Definición del problema............................................................................................. 14 1.1. Introducción ................................................................................................................. 14 1.2. Antecedentes históricos ............................................................................................... 14 1.2.1. Formas de Razonamiento en el álgebra lineal ..................................................... 15 1.3. Antecedentes de investigación .................................................................................... 15 1.3.1. En cuanto a la enseñanza: El enfoque geométrico y el enfoque formal o axiomático …………………………………………………………………………………………………………………………15 1.3.2.Comprensión de los estudiantes de algunos Conceptos Claves del álgebra lineal ..... 20 1.3.3. El Papel de la tecnología en la Instrucción y La innovación en la enseñanza del álgebra lineal ............................................................................................................................ 21 1.4. Principales problemáticas señaladas: revisión de literatura ....................................... 27 1.4.1. Educación tradicional: énfasis algorítmico........................................................... 27 1.4.2. El problema de la falta de conocimientos previos ............................................... 30 1.4.3. Problema del formalismo ..................................................................................... 30 1.4.4. Sincretismo ........................................................................................................... 31 1.4.5. Conciencia Metacognitiva .................................................................................... 32 1.5. Planteamiento del problema y preguntas de investigación ........................................ 32 1.6. Justificación .................................................................................................................. 34 1.6.1. El álgebra lineal y su creciente importancia en los programas de pregrado ....... 34 1.6.2. Un problema local sin explorar ............................................................................ 35 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 6 1.6.3. Promoviendo el pensamiento matemático a través de las tecnologías digitales 37 1.6.4. La importancia de las tecnologías digitales en la Educación Matemática ........... 38 Capítulo 2: Marco Teórico ............................................................................................................ 40 2.1 La Resolución de problemas Matemáticos con Medios. ............................................. 40 2.1.1.Postulado: Las matemáticas como una actividad de “Resolución de Problemas” ..... 40 2.1.2. ¿Cómo Resolver Problemas? El legado de George de Pólya ................................ 41 2.1.3. Con la mirada puesta en la Estrella Polar: La heurística moderna ....................... 42 2.1.4. Estrategias heurísticas para todos ....................................................................... 42 2.1.5. Breve diccionario de estrategias heurísticas de Pólya ......................................... 43 2.2. Hacia un marco teórico de Resolución de Problemas: El trabajo de Alan H. Schoenfeld ................................................................................................................................ 45 2.2.1. Problemas y la resolución de un problema .......................................................... 46 2.2.2. ¿Qué no es un problema? .................................................................................... 46 2.2.3. Tres contextos en el planteamiento de problemas ............................................. 47 2.2.4. La Resolución de Problemas: El corazón de las matemáticas .............................. 50 2.3. Fundamentos del enfoque de Resolución de Problemas Matemáticos (MPS) ........ 51 2.3.1. Los conocimientos de base (Recursos) ................................................................ 51 2.3.2. Estrategia de resolución de problemas (estrategias heurísticas) ........................ 52 2.3.3. Auto regulación, seguimiento y control: Metacognición ..................................... 53 2.3.4. Creencias y afectos ............................................................................................... 54 2.3.5.El pensamiento teórico y el pensamiento práctico: herramientas de descripción .... 55 2.3.6. El pensamiento creativo en la Resolución de Problemas .................................... 55 2.4. Tecnologías digitales y Resolución de Problemas Matemáticos. ............................. 57 2.5. Unidad de construcción de conocimiento y Unidad básica de análisis. .................. 57 2.5.1. Diseño de actividades interactivas en ambientes de matemáticas dinámicas .... 58 Capítulo 3: Marco Metodológico ................................................................................................. 61 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 7 3. Investigación basada en el diseño: Cerrando la brecha ................................................... 61 3.1. Introducción ................................................................................................................. 61 3.2. Investigación Basada en el Diseño (IBD): Características principales. ......................... 61 3.2.1. Creativa y visionaria: Nuevas estrategias traen nuevos resultados ..................... 62 3.2.2. Contexto: Ecológicamente válido......................................................................... 62 3.2.3. Intervencionista e Iterativa .................................................................................. 63 3.3. Fases de la investigación .............................................................................................. 64 3.3.1. Fase 1: Planteamiento del Problema de Investigación ........................................ 64 3.3.2. Fase 2: Marco interpretativo y referencial .......................................................... 65 3.3.3 Fase 3: Diseño de intervención ........................................................................... 65 3.3.4 Fase 4: Estudio Piloto .......................................................................................... 68 3.3.5 Fase 5: Análisis de los datos ................................................................................ 71 3.3.6. Fase 6: Gramática Argumentativa y Confiabilidad ............................................... 72 Capítulo 4: Análisis de resultados ................................................................................................ 74 4.1. Características del Entorno de Aprendizaje ................................................................. 74 4.1.1. Tiempo y Participantes ......................................................................................... 74 4.1.2. Partes del Diseño de Intervención ....................................................................... 74 4.1.3. Características del Aula ........................................................................................ 74 4.1.4. Actividades Desarrolladas por los Estudiantes .................................................... 75 4.1.5. Actividades Desarrolladas por el Investigador ..................................................... 75 4.1.6. Objetivos .............................................................................................................. 76 4.2. Análisis de la prueba diagnóstico ............................................................................. 77 4.2.1. Primer bloque de preguntas ................................................................................ 77 4.2.2. Segundo bloque de preguntas ............................................................................. 79 4.2.3. Tercer bloque de preguntas ................................................................................. 80 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 8 4.2.4. Cuarto bloque de preguntas ................................................................................ 82 4.2.5. Quinto bloque de preguntas ................................................................................ 82 4.2.6. Consideraciones Finales ....................................................................................... 85 4.3. Análisis de las producciones de los estudiantes: Inferir, justificar y relacionar las distintas formas de razonamiento ........................................................................................... 87 4.3.1. Hoja de trabajo: Tipos de Solución de los SEL 2X2 ............................................... 88 4.3.2. Hoja de Trabajo: Hablemos de Matrices ............................................................ 108 4.3.3. Hoja de Trabajo: Aplicaciones del Álgebra Lineal .............................................. 120 Capítulo 5. Conclusiones ............................................................................................................ 130 5.1. Características de las Actividades del Diseño de Intervención que favorecen la fluidez entre las formas de razonamiento. ............................................................................................ 130 5.2. Nuevas demandas en la resolución de problemas del álgebra lineal con medios digitales. 136 5.3. Características Emergentes en la Formas de Razonamiento debido al uso coordinado de Tecnologías Digitales. ............................................................................................................ 141 5.4. Sugerencias. ............................................................................................................... 143 5.4.1. Sugerencias Para la Investigación ...................................................................... 143 5.4.2. Sugerencias para la Formación de Profesores ................................................... 144 5.4.3. Sugerencias para la docencia. ............................................................................ 144 5.4.4. Sugerencias para el Diseño Curricular................................................................ 145 Referencias bibliográficas .......................................................................................................... 146 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 9 Índice de tablas PÁG. TABLA 1: PROMEDIO DE NOTAS POR INGENIERÍA, POR AÑO Y GENERALES. ----------------------------------------- 36 TABLA 2: TASAS DE REPROBACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL EN LOS ÚLTIMOS OCHO AÑOS, DE LOS DOCE PROGRAMAS DE INGENIERÍA DE LA UNIVERSIDAD DEL VALLE EN EL PERÍODO 2010 A 2017 ------------- 36 TABLA 3: FASES DE LA INVESTIGACIÓN. ----------------------------------------------------------------------------------------- 64 TABLA 4 OBSTÁCULO EPISTEMOLÓGICO “PARADIGMA DE LA SOLUCIÓN” ------------------------------------------- 78 TABLA 5 DISTRIBUCIÓN INICIAL DE LAS FORMAS DE RAZONAMIENTO ENCONTRADAS EN ESTA PARTE DEL DIAGNÓSTICO. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 79 TABLA 6 ANÁLISIS DE LA CONSISTENCIA DE LA ELECCIÓN CON LA JUSTIFICACIÓN Y LAS FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE PRESENTAN EN SUS AFIRMACIONES.------------------------------------------------------- 79 TABLA 7 FORMAS DE RAZONAMIENTO: TERCER BLOQUE DE PREGUNTAS ------------------------------------------- 81 TABLA 8 FORMAS DE RAZONAMIENTO: PROBLEMA 1. --------------------------------------------------------------------- 83 TABLA 9 FORMAS DE RAZONAMIENTO: PROBLEMA 2. --------------------------------------------------------------------- 84 TABLA 10 FORMAS DE RAZONAMIENTO: PROBLEMA 3. SISTEMA INCONSISTENTE. ------------------------------- 84 TABLA 11 DATOS CUANTITATIVOS SOBRE LOS RESULTADOS EN LOS BLOQUES DE PREGUNTAS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICO. NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE PRESENTARON EL DIAGNÓSTICO: 24 ESTUDIANTES-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 87 TABLA 12 RESPUESTA A LA PREGUNTA 3 DEL EQUIPO A. ------------------------------------------------------------------ 93 TABLA 13 RESPUESTA A LA PREGUNTA 3 DEL EQUIPO E. ------------------------------------------------------------------ 94 TABLA 14 RESPUESTA A LA PREGUNTA 4 DEL EQUIPO A. ----------------------------------------------------------------- 95 TABLA 15: RESPUESTA A LA PREGUNTA 4 DEL EQUIPO E. ------------------------------------------------------------------ 97 TABLA 16 RESPUESTA A LA PREGUNTA III, EQUIPO A. -------------------------------------------------------------------- 102 TABLA 17 RESPUESTA A LA PREGUNTA III, EQUIPO E. --------------------------------------------------------------------- 103 TABLA 18 RESPUESTA A LA PREGUNTA 3, EQUIPO F.---------------------------------------------------------------------- 104 TABLA 19 RESPUESTA A LA PREGUNTA 6 EQUIPO A Y E ------------------------------------------------------------------ 105 TABLA 20 PRIMERA PARTE DE LA SOLUCIÓN A LA ACTIVIDAD 2 A). GRUPO A. ------------------------------------ 110 TABLA 21 PARTE FINAL SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDAD 2 A) GRUPO A. ------------------------------------------------- 111 TABLA 22 PARTE FINAL SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDAD 2 A) GRUPO A. ------------------------------------------------- 111 TABLA 23 PARTE FINAL SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDAD 3 A) GRUPO A. ------------------------------------------------- 112 TABLA 24 NUEVAS DEMANDAS AL RESOLVER UN SEL. -------------------------------------------------------------------- 115 TABLA 25 ACCIONES DE METACOGNICIÓN Y ALGUNAS INFERENCIAS INICIALES. --------------------------------- 116 TABLA 26 CRITERIOS ESTABLECIDOS POR LOS ESTUDIANTES PARA RESOLVER UN SEL E INFERENCIAS. ---- 117 TABLA 27 ANÁLISIS DE EXPRESIÓN DE GENES A TRAVÉS DEL ÁLGEBRA LINEAL. PARTE 1. ---------------------- 123 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 10 TABLA 28 SEGUNDA PARTE DEL ANÁLISIS DE LA PRODUCCIÓN DE LOS ESTUDIANTES DEL EQUIPO A. ----- 126 TABLA 29 COMPARATIVO DE LAS DEMANDAS TRADICIONALES CON LAS QUE SE EMPLEAN EN LA ACTIVIDAD CORRESPONDIENTE DEL DI. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 137 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 11 Índice de figuras FIGURA 1 EJEMPLO DE LA VARIANTE REPRESENTACIÓN METAFÓRICA DEL ENFOQUE GEOMÉTRICO. .......... 17 FIGURA 2 TEOREMA DE RESUMEN DE DOS LIBROS DE TEXTOS TRADICIONALES. .......................................... 31 FIGURA 3 FASES PARA RESOLVER PROBLEMAS EN CONTEXTO REAL. ............................................................. 48 FIGURA 4 DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LA RESPUESTA 1 DEL PRIMER BLOQUE DE PREGUNTAS, TOMADA DEL FORMULARIO DE GOOGLE. .............................................................................................................. 77 FIGURA 5 DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LA RESPUESTA A LA PREGUNTA DE SELECCIÓN MÚLTIPLE DEL SEGUNDO BLOQUE DE PREGUNTAS, TOMADA DEL FORMULARIO DE GOOGLE. ................................... 80 FIGURA 6: DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LA RESPUESTA A LA PREGUNTA DE SELECCIÓN MÚLTIPLE DEL TERCER BLOQUE DE PREGUNTAS, TOMADA DEL FORMULARIO DE GOOGLE......................................... 81 FIGURA 7: DISTRIBUCIÓN PORCENTUAL DE LA RESPUESTA A LA PREGUNTA DE SELECCIÓN MÚLTIPLE DEL CUARTO BLOQUE DE PREGUNTAS, TOMADA DEL FORMULARIO DE GOOGLE. ...................................... 82 FIGURA 8 IMAGEN DEL APPLET GEOGEBRA: SOLUCIÓN DE UN SISTEMA 2X2. .............................................. 91 FIGURA 9 TABLA PARA ALMACENAR LA INFORMACIÓN INFERIDA DE LA ACTIVIDAD TIPO LABORATORIO Y PREGUNTA PARA EL ANÁLISIS. ................................................................................................................ 93 FIGURA 10 IMÁGENES DE LA TABLA Y EL APPLET DEL LABORATORIO DE LA SEGUNDA PARTE DE LA HOJA DE TRABAJO. ...............................................................................................................................................100 FIGURA 11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ESCRITA DEL PROBLEMA 1, HOJA DE TRABAJO 1, PARTE 2. ........100 FIGURA 12 PREGUNTAS QUE ORIENTAN EL ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES EN EL LABORATORIO ..........101 FIGURA 13 CÓDIGO QR DEL RECURSO DIGITAL QUE MUESTRA LA TRANSFERENCIA DEL CONCEPTO DE ÁNGULO EN EL CONTEXTO FORMAL. ....................................................................................................125 FIGURA 14 CÓDIGO QR DEL RECURSO DIGITAL QUE MUESTRA LA TRANSFERENCIA DE LA DESCOMPOSICIÓN SVD AL CONTEXTO CIENTÍFICO REAL. ...................................................................................................125 FIGURA 15: ENUNCIADO E IMAGEN DEL APPLET GEOGEBRA DEL PROBLEMA 3. PRIMERA JORNADA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (VER ANEXO 1. PÁGINA 12)...................................................................132 FIGURA 16 ENUNCIADO E IMAGEN DEL APPLET GEOGEBRA DEL PROBLEMA 3. PRIMERA JORNADA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (VER ANEXO 1. PÁGINA 16)...................................................................134 FIGURA 17 PROBLEMA 2 DE LA HOJA DE TRABAJO: ELIMINACIÓN GAUSSIANA (VER ANEXO 1, P. 35) .......138 FIGURA 18 PROBLEMA 3 DE LA HOJA DE TRABAJO: ELIMINACIÓN GAUSSIANA (ANEXO 1, P. 35) ..............139 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 12 Introducción El presente trabajo de investigación se centra en el diseño de actividades que abordan problemas del álgebra lineal en un contexto formal y analiza las formas de razonamiento que emplean los estudiantes al resolver dichos problemas utilizando tecnologías tipo CAS (Computer Algebra Systems, por sus siglas en inglés) y DGS (Dynamic Geometry Software, por sus siglas en inglés). El primer capítulo introduce la naturaleza de la investigación y establece los antecedentes relacionados con el álgebra lineal, incluyendo el papel de la geometría en la enseñanza, la comprensión de los conceptos clave por parte de los estudiantes y el uso de la tecnología en la educación e innovación. A través de una revisión de literatura, se identifican las principales problemáticas encontradas en la enseñanza del álgebra lineal, como el enfoque excesivamente algorítmico, la falta de conocimientos previos de los estudiantes y el formalismo excesivo. Estas problemáticas son consideradas al diseñar las actividades que conforman la primera versión del diseño de intervención. Asimismo, se plantea la relevancia de esta investigación en el contexto actual, donde el álgebra lineal ha adquirido una creciente importancia debido a la vectorización digital de la información. También se aborda la problemática global y local de deserción y reprobación en el ámbito educativo, así como la importancia de las tecnologías digitales en la enseñanza de las matemáticas. En el segundo capítulo, se presenta el marco teórico basado en la resolución de problemas de matemáticas con medios. Se reportan los aportes principales de autores como George Pólya y Alan Schoenfeld, cuyo trabajo complementario sienta las bases de este enfoque. También se analiza la evolución de este enfoque con la incorporación de tecnologías digitales en la resolución de problemas, tomando como referencia la obra de Manuel Santos Trigo y otros investigadores. Se incorporan las ideas de Marcelo Borba y Mónica Villarreal sobre "Humanos con Medios" para concebir que la producción de conocimiento no se encuentra exclusivamente en la mente, sino en la interacción con los medios. En el tercer capítulo, se presenta el marco metodológico de la Investigación basada en Diseño. Este modelo de investigación en educación matemática se centra en el análisis de cómo se transforman las formas de razonamiento de los estudiantes al utilizar tecnologías digitales. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 13 Además, se diseña una intervención en el aula que busca no solo provocar los fenómenos a analizar, sino también innovar la instrucción. Se resumen las fases llevadas a cabo en la investigación y se presentan los principios de diseño iniciales, así como las conjeturas sobre los resultados del diseño de intervención y las producciones de los estudiantes en la resolución de problemas del álgebra lineal. En el cuarto capítulo, se hace un Análisis de Resultados de la investigación. Inicialmente, se realiza un análisis de la prueba diagnóstico, realizada durante el pilotaje del semestre. Este análisis permite comprobar diversas problemáticas identificadas en el primer capítulo relacionadas con el aprendizaje del álgebra lineal y la pertinencia de introducir el enfoque cualitativo de los sistemas de ecuaciones y su relación con la naturaleza de la solución. En segunda instancia, se seleccionan tres actividades, dos en contexto formal y una en contexto real, las cuales permiten analizar las características del diseño de actividades de aprendizaje, las nuevas demandas en la resolución de problemas de álgebra lineal con medios digitales y las características de las formas de razonamiento con medios digitales. Finalmente, en el quinto capítulo se responden las preguntas que orientan la investigación. Estas preguntas están interrelacionadas y abordan las características de las actividades diseñadas, las nuevas demandas que enfrentan los estudiantes gracias al diseño de intervención y las características del razonamiento asociadas al uso de tecnologías digitales en la resolución de problemas del álgebra lineal. Asimismo, se presentan sugerencias para futuras investigaciones, la formación de profesores, la docencia y el diseño curricular. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 14 Capítulo 1: Definición del problema 1.1. Introducción El álgebra lineal resulta una fuente de frustración tanto para profesores como estudiantes. Los profesores pueden sentirse frustrados al intentar explicar conceptos abstractos como espacio vectorial, rango, base, dimensión, dependencia e independencia lineal, y no logran hacerse entender por sus estudiantes. A pesar de que esta asignatura se puede pensar como una de las más sencillas al abordar uno de los problemas más elementales de las matemáticas, la variación lineal, la complejidad de los conceptos puede dificultar su enseñanza. Por otro lado, los estudiantes pueden experimentar frustración al intentar comprender la idea de que todo espacio de dimensión 𝑛 es isomorfo con ℝ𝑛, a pesar de ser capaces de operar matrices y resolver sistemas lineales no cuadrados con cierta facilidad. Además, el álgebra lineal es una asignatura obligatoria en muchos planes universitarios, técnicos y tecnológicos, esto genera altos índices de estudiantes reprobados semestre tras semestre, lo que es motivo de preocupación institucional. Éste no sólo es un fenómeno local, sino que es común en gran parte de las universidades alrededor del mundo (L. A. Monroy Guzmán, 2011). André Revuz (1914-2008), Matemático francés, creador de los Institutos de Investigación sobre la enseñanza de las matemáticas IREM, en el prefacio del texto Sobre la Enseñanza del álgebra Lineal, manifestó: Una preconcepción común entre los matemáticos es que, para enseñar bien las matemáticas, todo lo que se necesita es conocer bien el tema. La enseñanza del álgebra lineal proporciona un sorprendente contraejemplo. La teoría está bien desarrollada, quienes la enseñan la conocen personalmente muy bien ... pero los estudiantes no la entienden. La preconcepción contraria, sostenida por pedagogos que creen que con una pedagogía apropiada se puede enseñar cualquier cosa, es igual de desastrosa. (Dorier, 2000, p. xv) 1.2. Antecedentes históricos Históricamente, los principales conceptos del álgebra lineal se desarrollan en una continua interacción entre los enfoques Geométrico y Algebraico (Dorier, 2000). Por más de 20 siglos, la FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 15 geometría, gracias a la Geometría Euclidiana, presta a las matemáticas no sólo un campo de imaginación, sino de validación de resultados. 1.2.1. Formas de Razonamiento en el álgebra lineal En Dorier (2000), se presenta un análisis histórico epistemológico del concepto de espacio vectorial; de este trabajo, Sierpinska (2000) abstrae lo que denomina Formas de Razonamiento, asociadas al lenguaje, que se usan de manera predominante en la resolución de problemas del álgebra lineal. Las formas de razonamiento se presentaron en la historia y se manifiestan en las aulas donde se reconstruyen los principales conceptos del álgebra lineal. Sierpinska las denominó Sintético-Geométrico (SG), Aritmético-Analítico (AA) y Analítico-Estructural (AE); según Sierpinska, esta clasificación obedece a la naturaleza misma del álgebra lineal en tanto guardan estrecha relación con los lenguajes que debe usar o privilegiar quien se enfrenta a resolver un problema relacionado con el álgebra lineal. El desarrollo histórico del concepto de vector deja una traza que permite verlo en su estado inicial en la geometría, como segmento, pasando luego a su calidad de segmento dirigido. En su proceso evolutivo o metamorfosis, se presenta luego como un objeto “aritmetizado” en la geometría analítica. Finalmente, y en un ambiente de naturaleza analítica, como el de los espacios normados de dimensión infinita, emerge el concepto de Espacio Vectorial y con él, la “desaritmetización” de los vectores. 1.3. Antecedentes de investigación La investigación en el ámbito de la Educación Matemática, sobre el álgebra lineal, según Stewart, Andrews-Larson, y Zandieh (2019), se puede clasificar en tres temáticas: (1) En cuanto a la enseñanza: El enfoque geométrico y el enfoque formal o axiomático. (2) Investigación sobre la comprensión de los estudiantes alrededor de conceptos del álgebra lineal considerados claves. (3) El papel de la tecnología en la instrucción y la innovación. 1.3.1. En cuanto a la enseñanza: El enfoque geométrico y el enfoque formal o axiomático Harel (2019) señala que, en cuanto al uso del enfoque geométrico en la enseñanza del álgebra lineal, se pueden determinar dos posiciones, un tanto contradictorias; por un lado, quienes argumentan que con el uso de la geometría los estudiantes aprenden mejor las nuevas ideas del álgebra lineal, por otro lado, algunos investigadores que cuestionan la eficiencia del enfoque FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 16 geométrico en la enseñanza del álgebra lineal. Harel (2019) a partir del análisis de seis libros de texto, con gran circulación a nivel mundial, plantea lo que denominó variantes del enfoque geométrico, con el objetivo de describirlas e intentar establecer posibles dificultades y beneficios. Aclara inicialmente que la idea de enfoque geométrico depende de si se trata de la idea de geometría del estudiante o del profesor, finalmente presenta un total de ocho variantes: generalización, reducción, aplicación, representación metafórica, representación literal, investigación autónoma, terminología basada en el espacio y geometría dinámica. Un ejemplo de la variante generalización se presenta cuando el estudiante asume como paralelos o colineales a los vectores, sin importar su naturaleza, que forman un conjunto linealmente dependiente de dos vectores, o dicho, en otros términos, dos polinomios linealmente dependientes son colineales. La variante reducción consiste en ejemplificar en el plano o el espacio conceptos generales como: combinación lineal, conjunto generado, subespacio o teoremas como el de complemento ortogonal entre el espacio fila y el espacio nulo de una matriz. La variante solicitud hace referencia a la geometría como aplicación, como es el caso de las formas cuadráticas. La variante de representación literal consiste en interpretar en lenguaje simbólico las ideas geométricas relativas al álgebra lineal y viceversa; la potencial fluidez cognitiva que brinda esta variante se privilegiará en los diseños de intervención que se emplearán en esta investigación, una tarea importante será identificar cómo se transforma esta variante con el uso coordinado por sistemas de cálculo algebraico CAS (por sus siglas en inglés) y sistemas de geometría dinámica (por sus siglas en inglés DGS). Se presenta un ejemplo tomando como punto de partida el problema planteado en (Harel, 2019, p. 1035): ¿Existe solución para el sistema 𝐴𝑥 = 𝑏, dado cualquier vector 𝑏? Donde: Una manera de emplear la variante representación literal requiere que el resolutor encuentre la equivalencia entre el enunciado anterior y algún interrogante con enfoque geométrico, como: ¿cualquier vector 𝑏 del espacio es combinación lineal de los vectores columna de la matriz 𝐴?, ¿Cualquier vector 𝑏 del espacio es generado por los vectores columna de la matriz 𝐴?, ¿Cualquier vector 𝑏 del espacio pertenece al espacio columna de la matriz 𝐴? O simplemente, ¿las columnas FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 17 de 𝐴 generan todo 𝑅3?. Para responder cualquiera de estos interrogantes, incluyendo el original, se puede plantear la matriz ampliada (aumentada) (𝐴|𝑏) y escalonar para obtener: De esta forma escalonada, el resolutor puede concluir que el plano: 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 es el espacio columna de la matriz 𝐴; es en esta afirmación donde finalmente emerge la variante representación literal. En general, los ejemplos de las variantes hasta ahora representan un beneficio limitado a ℝ2 𝑜 ℝ3; lo que podría representar una fuente de dificultad para espacios de diferente naturaleza como los conformados por polinomios o matrices (Harel, 2017). La variante Representación metafórica hace referencia a una especie de síntesis gráfica de un conjunto de ideas conectadas, que puede ser tan amplio como el que se muestra a continuación: Figura 1 Ejemplo de la variante representación metafórica del enfoque geométrico. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 18 Nota: Tomado de Equivalencia entre los núcleos y las imágenes de una transformación lineal y los respectivos conjuntos de sus matrices asociadas (Martínez R. & Sanabria R., 2014, p. 313). La variante investigación autónoma se refiere a un enfoque geométrico adoptado por profesores e investigadores que buscan implementar intervenciones en el aula enfocadas en el plano y el espacio. Según Harel (2019) solo se conocen tres intentos de investigación que han seguido esta orientación. El propósito de esta investigación es establecer los fundamentos para el diseño de una intervención basada en esta variante como principio central. La variante terminología basada en el espacio hace referencia a las denominaciones empleadas para un número importante de conceptos e ideas generales, como es el caso de: combinación lineal, dependencia lineal, espacio vectorial, proyección, complemento ortogonal, vector de coordenadas, entre otros. Harel (2019) cita una decena de artículos que reportan las dificultades, para los estudiantes, provenientes de la terminología empleada. La variante geometría dinámica la califica como emergente y citando algunos artículos de amplia difusión, destaca su potencial para convertirse en un verdadero aliado para la enseñanza-aprendizaje del álgebra lineal. En (Sierpinska, 2000), se realiza un experimento de enseñanza del álgebra lineal con el apoyo del FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 19 programa de geometría dinámica Cabri®1, con el propósito de familiarizar a los estudiantes con algunos conceptos básicos del álgebra lineal, privilegiando su naturaleza geométrica a través del propicio ambiente ofrecido por Cabri®, con la intención de retardar su manipulación a través de sus representaciones de carácter aritmético o algebraico. A pesar de la estrategia, los estudiantes no lograron el objetivo de aprendizaje trazado por los investigadores: entender la definición axiomática del concepto de Transformación Lineal. Según Sierpinska, la frustración se da por dos razones principales: las altas pretensiones del objetivo por parte del profesor investigador y la tendencia de los estudiantes de enfrentar las actividades propuestas aplicando alguna regla sin filtro alguno. La práctica por parte de los estudiantes llevó al grupo de Sierpinska a considerarla un obstáculo que denominó pensamiento práctico que, aunque necesario, si se privilegia en contraposición del pensamiento teórico, trae como consecuencia que los estudiantes no comprendan los conceptos del álgebra lineal que se ponen en juego en los procesos de enseñanza-aprendizaje del álgebra lineal en general. El enfoque formal de la enseñanza se caracteriza principalmente porque le asigna un peso importante a la demostración, entre las metas a alcanzar; según Sierpinska (2000), estos ideales esperados por los diseñadores de un curso o actividades de álgebra lineal se convierten en fuente de frustración, principalmente, por la madurez académica alcanzada por los estudiantes a la hora de tomar este curso. En forma más específica, Stewart y Thomas (2019), manifiestan que esperar que los estudiantes, al final de un primer curso de álgebra lineal, alcancen los conocimientos matemáticos y metamatemáticos que se juntan en cada paso de una demostración, resulta poco realista. Según Stewart y Thomas (2019), para un amplio porcentaje de los estudiantes, los métodos de demostración son desconocidos; para ellos, existen dos tipos de demostración: las que prueban y las que explican. Sobre las primeras queda la sensación de que no tienen sentido para ellos, pero asumen que son verdad y, en algunos casos, deciden memorizarlas para estar listos a la hora de la evaluación. Las pruebas que explican, las encuentran valiosas porque les ayuda con la comprensión y convicción personal. 1 Software comercial de geometría dinámica, ver (www.cabri.com). http://www.cabri.com/ FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 20 1.3.2. Comprensión de los estudiantes de algunos Conceptos Claves del álgebra lineal En el artículo de revisión (Stewart et al., 2019) se eligieron 54 artículos relativos al álgebra lineal, de las 20 principales revistas de educación matemática en inglés, de los cuales el 67% se centró en la comprensión de los estudiantes de algún contenido o franja de contenidos. El 50% de ellos, se enfocó en la franja de contenido relacionada con la dependencia e independencia lineal, y conjunto generado y generador; sorprende que, en los sistemas de ecuaciones lineales, un tema que resulta transversal en los cursos de álgebra lineal, se enfoque un porcentaje tan bajo de publicaciones; 5% aproximadamente. El concepto de Espacio Vectorial ha sido catalogado como central para el álgebra lineal (Parraguez, 2009; Stewart, 2017), puesto que en él subyacen gran parte de los conceptos que forman su amplio cuerpo teórico: base, dimensión, conjunto generado y generador, rango, dependencia e independencia lineal y combinación lineal; de este último concepto, Monroy Guzmán (2011) afirma: La síntesis de la idea básica del álgebra lineal, como disciplina de pensamiento matemático, se encuentra en reconocer que todos los elementos de un conjunto se puedan formar por la combinación lineal de un número finito de ellos (en el caso de los espacios de dimensión finita); esta idea se afirma cuando logramos separar la menor cantidad de objetos del conjunto con los que se puede lograr este sorprendente resultado. La evolución final se da cuando se establece la relación entre el conjunto inicial, el número de elementos del conjunto generador y 𝑅𝑛 (p. 12). Mas adelante, se realiza una síntesis de las principales problemáticas reportadas por los investigadores y como parte del trabajo final se analizaron, de manera crítica, los diseños de intervención que aparecen o se describen en la literatura escudriñada; los insumos obtenidos en esta etapa hacen parte de las hojas de trabajo que conforman el diseño de intervención de esta investigación. Por ejemplo, en Roa-Fuentes y Oktaç (2010), se presentan posibles fundamentos para el diseño de intervenciones en el aula, para el concepto de transformación lineal, a través de dos posibles rutas cognitivas que el estudiante pueda seguir; a este proceso se le llama descomposición genética de saberes matemáticos y hace parte de la etapa de análisis teórico del enfoque de investigación APOE, ampliamente empleado en la investigación en educación FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 21 matemática. La descomposición genética que presenta Roa-Fuentes y Oktaç (2010) se centra en la definición formal del concepto, marginando las representaciones geométricas y tomando como requisito una comprensión madura de los conceptos de función y espacio vectorial; lo que implica un presupuesto muy alto para considerarse una trayectoria viable o en el mejor de los casos lo limita a ser empleado para diseños orientados a cursos muy especializados. Según Roa-Fuentes y Oktaç (2010), partiendo del concepto de función, ampliando la posibilidad de que el dominio y el codominio sean espacios vectoriales, un buen manejo de las ideas constitutivas de la combinación lineal y empleando conscientemente el cuantificador universal, se conforma una de las posibles rutas para que un estudiante construya el concepto de transformación lineal. 1.3.3. El Papel de la tecnología en la Instrucción y La innovación en la enseñanza del álgebra lineal Uso de Herramientas digitales tipo CAS. De lo que hoy conocemos como programas de sistemas de cálculo algebraico (CAS por sus siglas en inglés) puede rastrearse hasta 1950, y el uso de CAS en cursos de pregrado comenzó a ser introducido de manera limitada en la década de 1970. En 1982, algunos investigadores en educación matemática ya se planteaban cómo transformar los contenidos de los cursos de matemáticas del primer año de pregrado para permitir el uso de CAS. Por ejemplo, Hillel (1993) mostraba cómo el uso de CAS podría ayudar a los estudiantes a reducir la carga de realizar cálculos rutinarios y enfocarse en aspectos más relacionados con los conceptos del algebra lineal. Sin embargo, también señalaba que existe el riesgo de perder lo ganado al enfrentar a los estudiantes a matrices de gran tamaño, lo que podía llevar a cometer errores al ingresar los datos de la matriz. El uso de CAS hace que los estudiantes puedan acceder a conceptos más complejos que estaban prácticamente ocultos en la enseñanza tradicional para todo tipo de estudiantes; ahora estos se vuelven accesibles (Jin, Bi, & Zhao, 2011; Sacristán et al., 2010). Al respecto, Jin et al. (2011) señalan que el uso de un software que ayude con algunos algoritmos, hasta ahora implementados de manera obligada con papel y lápiz, requisito reconocido como inoficioso actualmente, permite poner al alcance de los estudiantes conceptos que, sin el uso de estos, no podrían asomarse en las aulas de clase. Al respecto, Lavicza (2010) resaltó que uno de los matemáticos que participó en su encuesta dijo: FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 22 La enseñanza relacionada con CAS debería usarse para alentar a los estudiantes a explorar las matemáticas. Las matemáticas más sofisticadas ("de la vida real") se vuelven accesibles a través de CAS: por ejemplo, la programación lineal se puede enseñar en una clase introductoria de álgebra lineal (Lavicza, 2010, p. 169). Dogan-Dunlap (2010), muestra que las formas de razonamiento que plantea Sierpinska (2000) aparecen en el análisis de las respuestas construidas por un grupo de 42 estudiantes, ante un grupo de actividades que diseñó alrededor de los conceptos de dependencia e independencia lineal, combinación Lineal y las nociones de espacio y subespacio vectorial, para el caso del plano y el espacio, ℝ2 y ℝ3, respectivamente. Las actividades que propuso, las dividió en dos grupos, con la diferencia de que en una primera actividad los estudiantes pueden usar dispositivos tecnológicos tipo CAS y en la segunda se incorpora además un programa tipo sistema de geometría dinámica DGS. Ninguno de los dos programas contaba con las dos vistas integradas de manera dinámica, es decir, en la forma que se presenta actualmente en programas como GeoGebra. Los autores afirmaron que el uso del DGS potenció en los estudiantes no sólo el uso del método deductivo a partir de axiomas y otros, sino que potenció, en un gran porcentaje de estudiantes, la flexibilidad cognitiva (Dorier & Sierpinska, 2001); esto es, pasar de un modo de representación semiótica a otro a través de las formas de razonamiento mencionadas anteriormente. Dogan-Dunlap (2010) deja planteada también la idea de que se debe estudiar el efecto de las representaciones geométricas en el aprendizaje del álgebra Lineal, señalando además que, el poder de las representaciones geométricas parece potenciar su influencia cuando se encuentran simultáneamente con las representaciones aritméticas y algebraicas; para estudiar este fenómeno, se propuso en este trabajo que GeoGebra es una herramienta con las características deseadas. Una característica importante del uso de CAS son sus efectos a largo plazo, el más sustancial es la empleabilidad que genera el hecho de responder a algunas demandas relativas al siglo XXI, en cuanto a competencias tecnológicas; (Marshall, Buteau, Jarvis, & Lavicza, 2012), al respecto señalan: Por lo tanto, esta conjetura de Lavicza de que la integración de CAS puede ser ayudada por las futuras necesidades de empleo de los estudiantes se ve reforzada por los hallazgos FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 23 de la revisión de la literatura sobre habilidades transferibles relacionadas con CAS. (p. 431) En un estudio posterior, Cooley et al (2014) resalta la importancia de la mediación de la tecnología, el trabajo en grupo y las aplicaciones prácticas en el álgebra lineal desde la perspectiva de los estudiantes. Se refieren específicamente a las aplicaciones actuales del algebra lineal en áreas STEM (ciencias tecnología ingeniería y matemáticas) que resultan de interés para los estudiantes. En el trabajo de Caridade, Encinas, Martín-Vaquero y Queiruga-Dios (2015), se defiende el uso de CAS, argumentando que existen problemas muy interesantes en el álgebra lineal que se pueden abordar mediante el uso de estos programas. Como se mencionó en el documento de Marshall et al. (2012), algunos profesores plantean obstáculos relacionados con la sintaxis de los programas CAS. Sin embargo, según Caridade et al. (2015), para ese año el lenguaje de estos programas se volvía más accesible y, al mismo tiempo, familiariza al estudiante con el lenguaje matemático formal. La evolución de la enseñanza de algoritmos matemáticos: el papel de los programas tipo CAS. La enseñanza de algoritmos tradicionales en matemáticas ha experimentado cambios significativos en los últimos años. Por ejemplo, el algoritmo para calcular la raíz cuadrada ha sido eliminado de las aulas ya que existe un acuerdo generalizado de que es suficiente comprender que se trata de otro número real del mismo tipo, para el caso de los números reales positivos, cuyo cuadrado es el número del cual se obtiene la raíz. Sin embargo, otros algoritmos tradicionales, como la factorización de polinomios cuadráticos y de mayor grado, siguen siendo resueltos preferiblemente a través del método tradicional; utilizando papel y lápiz. En el contexto de los cursos de álgebra lineal, los algoritmos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales requieren extensos cálculos numéricos manuales. Esto se puede verificar revisando las secciones de ejemplos y ejercicios de la mayoría de los libros de texto del álgebra lineal (Grossman & Flores Godoy, 2012; Lipschutz, 1991; Poole, 2011). Sin embargo, al igual que con el algoritmo de la raíz cuadrada, muchos de estos algoritmos están cediendo espacio a las tecnologías reconociendo que no es necesario que los estudiantes realicen los cálculos FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 24 manualmente, sino que puedan comprender y analizar los resultados proporcionados por las herramientas tecnológicas. Por ejemplo, en el caso de la raíz cuadrada, es importante que el estudiante pueda responder preguntas como: ¿cuál es la relación entre un número y su raíz cuadrada? Además, a partir de los resultados y las nociones asociadas, los estudiantes pueden verificar sus propios cálculos utilizando la misma herramienta tecnológica, esto es, desplegar en el proceso estrategias de metacognición (Schoenfeld, 2016). Aprovechar las potencialidades de los programas tipo CAS y plantearse preguntas como ¿qué algoritmos se pueden migrar a estos programas? Y ¿cómo cambian los procesos que se le exigen a los estudiantes? De acuerdo con una encuesta internacional a profesores universitarios de matemáticas por Marshall et al. (2012), Se observó que aquellos que utilizan programas tipo CAS liberaron a sus estudiantes de las tareas computacionales rutinarias, lo que les permitió centrarse en actividades más esenciales y en el desarrollo de un entendimiento profundo de los conceptos. En el caso del álgebra lineal, mientras un profesor puede dedicar una parte significativa de sus clases a resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos tradicionales, con los programas tipo CAS se pueden resolver numerosos sistemas de manera eficiente, lo que permite enfocar la atención de los estudiantes en las nociones fundamentales del álgebra lineal que subyacen en las salidas proporcionadas por el programa. Los programas tipo CAS han demostrado tener un impacto significativo en el campo de la ingeniería. En la actualidad muchos problemas son resueltos gracias a la combinación del ingenio humano y el poder de estas herramientas tecnológicas. Esta fusión entre el conocimiento humano y la capacidad de las máquinas se conoce como competencia computacional (Se, Ashwini B, Chandran, & Soman K.P, 2015). Sistemas de Geometría Dinámica: “La nueva realidad de los Objetos Matemáticos” Manuel Santos-Trigo (2020), a las herramientas digitales de acción que se pueden emplear para representar, explorar y trabajar tareas matemáticas, las denomina Sistemas de Geometría Dinámica (DGS por sus siglas en inglés); como es el caso inicial de GRAPHER, Cabri® y actualmente GeoGebra. La abstracción situada es según Noss y Hoyles (1996) el principio fundamental de los DGS. Este tipo de abstracción se da gracias a las potencialidades que surgen al sumar las características de la herramienta, los conocimientos, motivaciones e interacciones de quien FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 25 aprende y la intención de quien diseña la actividad a enfrentar; el trabajo con DGS demanda del estudiante el uso de comandos, construcciones geométricas, la sintaxis propia de las hojas de cálculo y en general un lenguaje que lo aproxima al uso de la terminología propia de las matemáticas. Noss y Hoyles presentan así una forma distinta, entre muchas otras ya existentes, de definir la abstracción como proceso o mecanismo que implica abstracción en la situación, no alejada (abs-tracción) de ella. La abstracción situada es entonces la forma "cómo los alumnos construyen significados matemáticos en la red de un entorno particular que, a su vez, da forma a la forma en que se expresan las ideas" (Noss & Hoyles, 1996, p. 122); lo que califican como una especie de comunicación humano-máquina. En el caso particular del concepto de dependencia lineal, al respecto Aranda y Callejo (2010), afirman que: Los resultados muestran que el uso simultáneo del lenguaje analítico y geométrico, así como la interacción dinámica con estos sistemas de representación en un contexto tecnológico, pueden favorecer las generalizaciones necesarias para desarrollar los procesos de abstracción reflexiva que inciden en la elaboración del concepto de dependencia lineal. (p. 129) Además, afirman que plantear una trayectoria hipotética de aprendizaje en un medio de matemáticas dinámicas, potencia la adquisición de los conceptos de dependencia e independencia lineal. Con respecto a la conclusión anterior, se añade que, aunque se les llama Sistemas de Geometría Dinámica (DGS), en realidad no son solo los objetos relativos a la geometría los que adquieren “vida”. Las matemáticas tradicionales se venían acompañando de representaciones estáticas, pero gracias a programas como GeoGebra, estas parecen evolucionar en cuanto a su representación; Moreno-Armella y Hegedus (2013), describen lo que en este trabajo se llama el “nuevo realismo de los objetos matemáticos”; al respecto, uno de los autores había afirmado que: En el caso de las computadoras, estos medios llegan a ser parte integral de nuestros recursos intelectuales y expresivos. Permiten, además, generar una forma de realidad virtual asociada a los objetos conceptuales de las matemáticas y traerlos, virtualizados ya, a la pantalla en donde podemos manipularlos con amplitud. (Moreno-Armella, 2002, p. 83). FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 26 El “nuevo realismo de los objetos matemáticos” no es un privilegio de los objetos de la geometría; las funciones, los vectores, las matrices, etc. adquieren dinamismo y realidad en estos entornos. Aguilar-Magallón (2018) afirma que el uso de DGS transforma algunas heurísticas en poderosas herramientas, lo que representa un hallazgo de lo que se plantea a partir de las ideas de Hegedus y Moreno-Armella (2009), Moreno-Armella y Hegedus (2013) y Noss y Hoyles (1996). Esto es, el símbolo que representa un objeto se enriquece; al respecto Moreno-Armella y Hegedus (2013) dice: “Podemos hablar de inscripciones matemáticas como las marcas externas de los símbolos, pero no podemos olvidar que símbolo y referencia son como caras de una moneda: cada una es la condición de existencia de la otra”. (p. 101). En consecuencia, el objeto se transforma, al menos para el observador, pues es a través de los símbolos que podemos establecer las características del objeto matemático, características que antes no se habían revelado, por carencias del observador o del agente representante; estas representaciones que han cobrado "vida", léase, dinamismo en un DGS y su interacción con las representaciones tradicionales ya conocidas, hace que este “todo” se tenga que estudiar de manera holística, para documentar todas las potencialidades que brinda a aquellos que tienen oportunidad de interactuar con este evolucionado objeto. Klasa (2010), desde su propia experiencia usando Cabri® y Maple, señala las múltiples posibilidades que brinda un DGS para mejorar la forma de trabajo de los estudiantes y su comprensión de los principales conceptos del álgebra lineal. Klasa (2010) afirma además que, en esta tarea, el software Cabri® le resulta más productivo que Maple, en cuanto que las representaciones dinámicas interactúan en simultánea con otras formas de representación. En esta misma dirección, Caglayan (2015) afirma que la posibilidad de representar situaciones problemas en diferentes contextos, es una de las potencialidades que brindan los DGS como GeoGebra. Los estudiantes pueden construir modelos que cumplen con las características exigidas por el problema; si estas resisten la “prueba del arrastre” se les llama construcciones dinámicas. Cuando construir modelos de las definiciones o problemas planteados, se convierte en una estrategia recurrente, Aguilar-Magallón (2018) afirma que la competencia de proponer problemas evoluciona al presentarse al inicio del problema, durante el desarrollo del problema y después de solucionarlo. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 27 1.4. Principales problemáticas señaladas: revisión de literatura La problemática en torno al álgebra lineal planteada por el grupo de estudios del currículo del álgebra lineal en Norteamérica en 1990 sigue siendo relevante hasta el día de hoy (Carlson, Johnson, Lay, & Porter, 1993). En aquella época, ya se observaba un creciente requerimiento del algebra lineal en la formación de estudiantes en una amplia gama de programas universitarios y tecnológicos. Dos décadas después, la enseñanza del álgebra lineal se había vuelto casi universal en la educación terciaria (Oktaç & Trigueros, 2009). Además, el grupo de estudios señaló que los programas de álgebra lineal en las diversas instituciones no satisfacían las necesidades básicas de los estudiantes ni las demandas de formación provenientes de los planes de estudio. Estas demandas se basaban principalmente en el creciente número de aplicaciones del algebra lineal, una tendencia que continúa en la actualidad. El grupo de estudio destacó la falta de conexión entre el curso y sus aplicaciones, una preocupación compartida más recientemente por Caridade et al. (2015) y Marshall et al. (2012), así como la falta de conocimiento de los instructores sobre los avances en tecnologías tipo CAS. A pesar de que en aquel momento estos software ya llevan más de 20 años utilizándose en la enseñanza de las matemáticas, su influencia y aprovechamiento en la enseñanza del algebra lineal eran prácticamente inexistentes (Carlson et al., 1993). Está problemática sigue siendo recurrente en la literatura académica relacionada con la enseñanza del álgebra lineal. 1.4.1. Educación tradicional: énfasis algorítmico Ya en el prefacio de la obra de George Pólya (1945), se llama la atención sobre los énfasis tradicionales y equivocados de la enseñanza de las matemáticas en general; “Si se dedica su tiempo a ejercitar en sus alumnos operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, perderá la oportunidad de participar positivamente en su formación” (G Polya, 1945, p. VI). Para lograr el efecto contrario en los estudiantes, Pólya afirma que, con el planteamiento de problemas adecuados a sus conocimientos y con la ayuda de preguntas estimulantes, se podría despertar en los alumnos el gusto por el pensamiento independiente. Según Schoenfeld (2016), los exámenes estandarizados de la época en que se publicó por primera vez este trabajo (1992), revelaron que prevalecía una práctica centrada en el contenido, en la que se suponía que los estudiantes conocían los fragmentos específicos del tema que FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 28 dominaban. Desde esta perspectiva, se concebía el conocimiento del estudiantes como la suma de estas partes: Una consecuencia de experimentar el currículo en pedazos pequeños es que los estudiantes aprenden que se les proporcionarán respuestas y métodos a los problemas; no se espera que los estudiantes descubran los métodos por sí mismos. Con el tiempo, la mayoría de los estudiantes llegan a aceptar su papel pasivo y a pensar en las matemáticas como "transmitidas" por expertos para que las memoricen (Carpenter, Lindquist, Matthews y Silver, 1983; National Assessment of Educational Progress, 1983). Citados por (Schoenfeld, 2016, p. 343). En el informe que se menciona en la cita anterior, se registró que alrededor de un 50% de los estudiantes opinaban que aprender matemáticas consiste en memorizar y el 90% estaba de acuerdo en que siempre había una regla a seguir para resolver un problema. En el estudio realizado por Jin et al. (2011), se describe lo que se denomina como la enseñanza tradicional del álgebra lineal, centrándose en la problemática del énfasis algorítmico presente en los cursos de esta asignatura. Según los autores, los textos guía utilizados por los profesores suelen privilegiar los procesos algorítmicos y la memorización de técnicas, sin lograr profundizar en el sentido conceptual subyacente. Los sistemas de ecuaciones lineales son un ejemplo donde se suele utilizar una serie de claves o trucos para reconocer las características del sistema como, si tiene una, infinitas o ninguna solución, ver (Grossman & Flores Godoy, 2012; Lipschutz, 1991; Poole, 2011). Si bien estos “trucos” pueden ser efectivos al asociarlos con el problema planteado, promueven la falta de comprensión de la relación entre los datos, los resultados obtenidos y los conceptos involucrados. Estas prácticas, que todavía persisten en un alto porcentaje, se enmarcan dentro de lo que Benítez Mojica (2006), describe como la memorización de técnicas para resolver actividades rutinarias: Aprender matemáticas va más allá de memorizar un conjunto de definiciones, algoritmos y técnicas para resolver actividades rutinarias. Adicionalmente, debe propiciarse en el aula un ambiente donde los estudiantes puedan comunicar sus ideas, hacer preguntas, FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 29 usar múltiples representaciones, hacer conjeturas y formular contra ejemplos. (Benítez Mojica, 2006, p. 6) A partir del siglo XX, la psicología comenzó a mostrar interés en cómo las personas aprenden matemáticas; se ocuparon entonces de la importante misión de trazar principios para el diseño de tareas. Mientras tanto, los profesores de matemáticas reflexionaban sobre cuál debía ser el contenido a enseñar. Sin embargo, la investigación sobre cómo enseñar las matemáticas, surgió en la comunidad matemática, sólo en la segunda mitad de la década de 1960 (Kieran, Doorman, & Ohtani, 2015). El modelo de diseño de tareas resultante, basado en la repetición y emulación (Uicab & Oktaç, 2006), demostró ser efectivo durante mucho tiempo y se ha mantenido fijo entre las prácticas de los profesores. Aunque en el ámbito de la investigación ha habido en el diseño de tareas, estos resultados no han impactado de manera significativa en la práctica docente. En el estudio realizado por Se et al. (2015), se plantea la alternativa del modelo de clase invertida en la enseñanza del álgebra lineal. Sugieren qué los profesores deben crear vídeos tutoriales que aborden los temas que normalmente se enseñan a través de exposiciones magistrales, ya que consideran que esta práctica es ineficaz, ya que, “los alumnos pueden simplemente olvidar lo que se ha dicho 10 minutos atrás” (Se et al., 2015, p. 2). Esta es una realidad que los profesores comprueban una y otra vez, cuando creen que, al conectar ideas dentro de sus largos discursos, sus estudiantes también lograrán hacerlo de manera simultánea. Por ejemplo, los conceptos de dependencia e independencia lineal son ampliamente estudiados en la investigación sobre la enseñanza del álgebra lineal, y con frecuencia se informa que los estudiantes los asocian con un procedimiento algorítmico sin comprender su significado. Esto impide reconocer su papel fundamental en la comprensión de otros conceptos estructurales del álgebra lineal, dónde es importante tener claro su valor Conceptual (Aranda & Callejo, 2010). En este sentido, los profesores recurren a frases como ”Si el sistema homogéneo tiene solución única, es linealmente independiente (LI) sino es linealmente dependiente (LD)” para “ayudar” a sus estudiantes. El énfasis en los algoritmos, característico de la enseñanza tradicional, hace que los estudiantes memoricen numerosas técnicas y procesos paso a paso, como se ha descrito anteriormente, pero sin acompañarlos de una consistencia conceptual que los relacione. Moreno-Armella (2021) FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 30 describe este fenómeno como la desconexión entre la fluidez instrumental y la fluidez conceptual. 1.4.2. El problema de la falta de conocimientos previos Dogan-Dunlap (2006) aborda la problemática que posiblemente surge debido a la falta de conocimientos previos en la teoría de conjuntos, mediante el análisis de algunas tareas propuestas a estudiantes. En diferentes momentos de un curso introductorio del álgebra lineal, es necesario interpretar la regla que define un conjunto para identificar uno o más de sus elementos, y realizar algunas muestras que terminen, en ocasiones mediante una simple inspección, si un elemento pertenece o no a un conjunto; lo que permite concluir, por ejemplo, que un conjunto no es un subespacio vectorial. Dogan-Dunlap (2006) sostiene que el álgebra lineal utiliza un lenguaje propio de la teoría de conjuntos en tareas como encontrar ejemplos particulares de elementos de un conjunto, escribir por comprensión un conjunto e identificar la diferencia entre subconjunto y pertenencia, entre otros. El autor llega a la conclusión de que los estudiantes que ingresan a los cursos de álgebra lineal carecen de comprensión en la mayoría de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. En trabajos posteriores, Dogan-Dunlap (2010) vuelve a informar sobre esta misma carencia, agregando la falta de conocimientos básicos de geometría analítica. Además, la falta de conocimientos básicos en teoría de conjuntos también ha sido señalada recientemente por Cárcamo Bahamonde, Fortuny Aymemí y Gómez i Urgellés (2017). 1.4.3. Problema del formalismo El obstáculo del formalismo, según la perspectiva de Dorier (2000), se refiere al uso de los conceptos clave del álgebra lineal sin una lógica clara al argumentar o responder preguntas. Según se relata en el documento, esto se debe a los objetivos establecidos para el curso y al uso temprano del lenguaje formal (Sierpinska, 2000). El concepto de obstáculo del formalismo también se atribuye al considerable número de axiomas, teoremas y, sobre todo, al número de definiciones que se presentan en cada sesión de clase de álgebra lineal (Bagley & Rabin, 2016). En este sentido, los estudiantes argumentan que la mayoría de los temas requieren un nivel de abstracción más alto al que no estaban acostumbrados, lo que hace que sientan que el curso carece de conexión con sus conocimientos previos y experiencias con las matemáticas (Dogan- Dunlap, 2010). FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 31 1.4.4. Sincretismo La investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal ha destacado de manera constante la cantidad de conexiones lógicas que existen entre los principales conceptos de esta disciplina, lo que representa una fuente principal de dificultad para los estudiantes. En un corto período de tiempo, los estudiantes deben ser capaces de establecer estas conexiones de manera eficiente un claro ejemplo de esto se encuentra en las secciones de los libros de texto tradicionales dedicados a los denominados “teorema de resumen”: Figura 2 Teorema de resumen de dos libros de textos tradicionales. Nota: Imagen tomada de Stanley I. Grossman S. 2012, Álgebra lineal. Sexta edición. University of Montana. University College London, pág. 557 Nota: Imagen tomada de Poole, D. 2011. Álgebra Lineal. Una introducción moderna. Tercera Edición. Cengage Learning Editores, pág. 307 FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 32 El problema del sincretismo es inherente al algebra lineal y no puede ser evitado, como se ilustra en las figuras anteriores. No obstante, Uicab y Oktaç (2006) destacan que muchos de los errores cometidos por los estudiantes se deben precisamente a la falta de conexiones entre los conceptos. Además, afirman que, si los profesores e investigadores identificaran las conexiones clave que deben ser enfatizadas, se podría lograr una mejor comprensión de la asignatura. 1.4.5. Conciencia Metacognitiva Una problemática importante reportada es la falta de conciencia por parte de los estudiantes con respecto a mecanismos de metacognición. Sierpinska (2000) señala que, a pesar de tener a su disposición las posibilidades que ofrece el software de geometría dinámica, en este caso Cabri®, los estudiantes no parecen estar preocupados por verificar sus afirmaciones. Esto resulta preocupante, ya que existe una oportunidad explícita brindada por las características de las herramientas empleadas. En síntesis, la falta de conciencia metacognitiva por parte de los estudiantes con respecto a los mecanismos disponibles en los programas tipo CAS y DGS, es otra de las problemáticas importantes. Es necesario que los educadores promuevan la autorreflexión y el monitoreo activo del aprendizaje, así como brindar orientación y apoyo para que los estudiantes puedan aprovechar al máximo las oportunidades que ofrecen estas herramientas. 1.5. Planteamiento del problema y preguntas de investigación La enseñanza tradicional ha mostrado limitaciones en el desarrollo del pensamiento teórico en los estudiantes, mientras que se enfoca en fomentar el pensamiento práctico. Además, los profesores, aferrados a antiguos paradigmas de la reforma de las matemáticas modernas, establecen objetivos que exigen a los estudiantes de ingeniería alcanzar un razonamiento analítico estructural (AE), sin antes promover la flexibilidad entre las formas de razonamiento sintético geométrico (SG) y analítico aritmético (AA), Las cuales son necesarias para lograr dicho nivel de razonamiento (Sierpinska, 2000). Es necesario diseñar actividades de aprendizaje que fomenten la complementariedad entre estos dos tipos de pensamiento centrándose en las diversas formas de razonamiento del álgebra FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 33 lineal. Un elemento clave para tener en cuenta en el diseño de intervención es la reducción de la carga de cálculos aritméticos que se les exige a los estudiantes al resolver sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, inversas y, valores y vectores propios. A pesar de la aparición de herramientas tecnológicas cada vez más poderosas y versátiles, sigue siendo común la demanda de realizar cálculos a mano. Devlin (2019) señala que hacer y aprender matemáticas ha evolucionado significativamente desde 1990 y debería ser una experiencia diferente, aprovechando todas las oportunidades que brindan las herramientas digitales para democratizar el conocimiento y reorganizar el pensamiento matemático. En la construcción progresiva del álgebra lineal en el contexto histórico de las matemáticas se pueden identificar dos vertientes de desarrollo: la algebraica y la geométrica (L. A. Monroy Guzmán, 2011). Los conceptos más relevantes del álgebra lineal no han surgido exclusivamente de la vertiente algebraica, a pesar de su nombre, ni tampoco exclusivamente de la línea geométrica, a pesar de la noción de vector que forma parte del concepto central de espacio vectorial. La historia muestra que los principales conceptos del álgebra lineal han surgido de una especie de dialéctica entre estas dos formas de concebir las matemáticas en diferentes momentos históricos. Es después de lograr una flexibilidad entre las dos formas de razonamiento en estas líneas que se alcanza el nivel de razonamiento analítico o estructural (AE). La geometría desempeña un papel fundamental como campo de imaginación y validación para el álgebra lineal y su potencial se ve incrementado por herramientas digitales de geometría dinámica, como GeoGebra (Bu & Hohenwarter, 2015; Leung, 2017; L. Monroy Guzmán, Obregón Mosquera, Yaker Agudelo, & Domínguez Arboleda, 2023; Olsson, 2019; M. Santos-Trigo & Camacho-Machín, 2016; Turgut, 2018, 2019). El campo de imaginación y validación, como se ha demostrado en el desarrollo histórico del algebra lineal, requiere su complemento, que corresponde a la forma de razonamiento analítico aritmética. En el uso moderno y real del álgebra lineal la forma de razonamiento analítico aritmética demanda grandes volúmenes de operaciones, que se deben trasladar por razones prácticas y didácticas, a entornos informáticos como GeoGebra, Matlab, Matrix calculator, Wolfram alpha, entre otros (Artigue, 2002; Gonçalves, Costa, & Abreu, 2019; Kieran, 2019; Trouche, 2000; Wawro, 2015; Weigand, 2017). En este contexto, se desarrolló una investigación basada en el diseño de intervención orientada por las siguientes preguntas: FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 34 Pregunta central de Investigación ¿Cuáles son las formas de razonamiento que muestran estudiantes de primer año de Ingeniería, al resolver problemas del álgebra lineal con la mediación de herramientas digitales tipo DGS (GeoGebra) y CAS? Preguntas auxiliares de Investigación a. ¿Cuáles son las características del Diseño de Intervención que favorecen fluidez entre las diferentes formas de razonamiento? b. ¿Cuáles son las nuevas demandas en la resolución de problemas del álgebra lineal con medios digitales (DGS y CAS)? c. ¿Qué características emergen en las formas de razonamiento gracias al uso coordinado de medios digitales? 1.6. Justificación El inicio de la investigación en torno a la enseñanza aprendizaje del algebra lineal puede rastrearse hasta la década de 1990, cuando se publicó el trabajo compilado por Jean Luc Dorier en su libro “On the Teaching of Lineal Algebra” (Dorier, 2000). Este trabajo sentó las bases para explorar diferentes enfoques y estrategias en la enseñanza del Ángel y ha servido como referencia clave en el campo. Las líneas de investigación iniciadas en el trabajo de Dorier siguen siendo relevantes en la actualidad y, en algunos casos, se han ramificado en nuevas direcciones. Esto evidencia la amplitud y profundidad del álgebra lineal como campo de investigación en la educación matemática. 1.6.1. El álgebra lineal y su creciente importancia en los programas de pregrado La gran cantidad de información que se mueve a través de los medios digitales ha hecho que el tratamiento de los grandes volúmenes de datos se traduzca en múltiples y variados problemas que han marcado el camino para que la rama de las matemáticas que más ha ampliado sus dominios sea precisamente el álgebra lineal. Esto se debe, en alguna medida, a que la encapsulación de esta información se da precisamente en artefactos importados del andamiaje mismo del álgebra lineal, cómo es el caso de: vectores, matrices (arreglo de vectores), tensores FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 35 (arreglo de matrices). En el prefacio del texto “El Álgebra Lineal y sus Aplicaciones” (Strang, 2006b), afirma que: Personalmente, creo que muchas más personas necesitan álgebra lineal que cálculo. ¡Isaac Newton podría no estar de acuerdo! Pero él no está enseñando matemáticas en el siglo XXI […] Ciertamente las leyes de la física están bien expresadas por ecuaciones diferenciales. Newton necesitaba cálculo, muy bien. Pero el alcance de la ciencia, la ingeniería y la administración (y la vida) es ahora mucho más amplio, y el álgebra lineal se ha movido a un lugar central. (p. iv) Al respecto, Alan Tucker, profesor desde 1970 en la Universidad Estatal de New York Stony Brook, quien presidió por muchos años y en distintas épocas, la Asociación Americana de Matemáticas (MAA), manifestó, en su trabajo “La Creciente Importancia del Álgebra Lineal en los Pregrados” (Tucker, 1993), que el álgebra lineal debería tener el mismo espacio de tiempo que el cálculo en los ciclos de formación básica. Situándose en el contexto local, en las universidades colombianas, el tiempo que se emplea para la enseñanza del álgebra lineal representa un poco menos de la tercera parte del empleado para la enseñanza del cálculo; si a esto se le agrega el tiempo que se toma para cursos de precálculo, la proporción sería aproximadamente de 1:4. En un sentido más general, refiriéndose a la enseñanza de las matemáticas, Gravemeijer, Stephan, Julie, Lin y Ohtani afirman que: “En nuestra opinión, las matemáticas merecen una atención especial. Esto es especialmente cierto debido a la forma en que la informatización afecta a las matemáticas y viceversa” (2017, p. 106). 1.6.2. Un problema local sin explorar En la Universidad del Valle, los cursos de matemáticas básicas para carreras de ingeniería tienen altas tasas de reprobación. Según Tenorio (2011), esto contribuye directamente a la deserción educativa. Para actualizar los datos de este estudio, se recopilaron las notas de álgebra lineal de 2010 a 2017. La Tabla 1 muestra dos columnas por programa de ingeniería: la columna izquierda indica el promedio anual y la columna derecha el número de estudiantes que completaron el curso. Por ejemplo, en 2012, 68 estudiantes de ingeniería eléctrica completaron el curso con un promedio de 2.4. Las calificaciones están en una escala de 1.0 a 5.0 y se requiere FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 36 un mínimo de 3.0 para aprobar. La última fila muestra los promedios por programa de ingeniería. Por ejemplo, ingeniería de sistemas tuvo el promedio más bajo (2.5) durante los ocho años observados y 524 estudiantes completaron el curso de álgebra lineal. La última columna muestra los promedios y el número total de estudiantes que completaron el curso por año. Por ejemplo, el promedio mínimo (2.6) se registró en 2011, 2012 y 2015. Tabla 1: Promedio de notas por ingeniería, por año y generales. Nota: datos entregados por Registro académico de la Universidad del Valle. En términos generales, encontramos que los estudiantes de álgebra lineal, en los programas de ingeniería, tienen un bajo rendimiento. Los promedios están por debajo del nivel de aprobación. Tabla 2: Tasas de reprobación de álgebra lineal en los últimos ocho años, de los doce programas de ingeniería de la Universidad del Valle en el período 2010 a 2017 Nota: datos entregados por Registro académico de la Universidad del Valle. La ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. muestra que el promedio ponderado de e studiantes que reprobaron álgebra lineal durante el periodo observado es del 47%. Según Tenorio (2011), la tasa de reprobación en ese momento estaba entre el 30% y el 40%, lo que significa que FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 37 ha aumentado en aproximadamente 10 puntos porcentuales. Esto representa un alto nivel de fracaso escolar. Cabe señalar que estas tablas solo tienen en cuenta a los estudiantes que completaron el curso y no incluyen a aquellos que cancelaron la materia antes de terminarla. Estos indicadores respaldan la justificación del proyecto. 1.6.3. Promoviendo el pensamiento matemático a través de las tecnologías digitales En el contexto educativo, se ha observado una desmotivación generalizada entre los estudiantes hacia el estudio de las matemáticas, según investigaciones realizadas en el marco del programa “Universidad y Culturas” Coordinado por Tenorio (2011). Estas investigaciones también han evidenciado una actitud negativa hacia esta materia y la falta de capital cultural necesario para tener éxito en su formación. Además, se ha reiterado que la enseñanza de las matemáticas se basa en procedimientos rutinarios. A pesar de los esfuerzos institucionales por proporcionar infraestructura y capacitar a los docentes en el uso de las tecnologías en el aula, sin impacto en la enseñanza sigue siendo limitado. Por tanto, en el desarrollo de esta investigación se tiene como objetivo transversal promover el uso de herramientas digitales para fomentar el desarrollo del pensamiento matemático en el curso de algebra lineal. En particular se busca alentar el uso coordinado y orientado de programas como GeoGebra, Matlab, Matrix calculator y matemática, con el fin de mejorar el razonamiento y comprensión de los conceptos matemáticos en el curso de álgebra lineal. Las tecnologías digitales ofrecen recursos interactivos, visualizaciones y cálculos computacionales que pueden facilitar y motivar el aprendizaje significativo. Es importante destacar que la Universidad del Valle está adelantando una reforma curricular en todos sus programas (Superior, 2015). En este contexto el departamento de matemáticas de la Facultad de Ciencias está brindando apoyo a la reforma de los programas de matemáticas, y se encuentra abierto a discutir propuestas de innovación para la enseñanza de las matemáticas. En este escenario, la investigación educativa desempeña un papel crucial ya que permite someter a prueba las actividades de aprendizaje y los nuevos enfoques sobre la enseñanza de las matemáticas en general, y del álgebra lineal en particular. A través de la investigación, se podrán FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 38 evaluar los resultados identificar posibles mejoras generar conocimientos pedagógicos que contribuyan a una enseñanza más efectiva y motivadora de las matemáticas. 1.6.4. La importancia de las tecnologías digitales en la Educación Matemática Como se señaló antes, hace más de 40 años, autores e instituciones han venido destacando la importancia del empleo de las tecnologías digitales en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas (NCTM, 2000; MEN, 2014; UNESCO, 2013; OCDE, 2015; Moreno, L, & Santos, L.M., 2016). Al revisar buena parte de la literatura con enfoque en resolución de problemas matemáticos con tecnologías digitales, se adoptó la idea de que las tecnologías digitales, por la forma en que han transformado la forma de comunicar, interactuar, pensar y en general de vivir y convivir de los seres humanos, se constituyen en una cualidad para generar conocimiento, tan importante como la oralidad y la escritura. Así como la escritura no desplazo la oralidad en su momento, sino que reordenaron la manera de pensar y producir conocimiento de los seres humanos con estos medios, es necesario explorar los roles de esta nueva cualidad: ¿cómo reacomoda las formas de construcción de conocimiento cuando se promueve su participación? (Borba & Villareal, 2005; Jacinto & Carreira, 2017; Villarreal & Borba, 2010). En el trabajo de Jacinto y Carreira (2017) se afirma que: Hoy tenemos fuertes evidencias de un cuerpo comprensible de investigación de que el uso de tecnologías digitales en el aprendizaje de las matemáticas reformula y reorienta el pensamiento matemático: favorece los enfoques experimentales y exploratorios, promueve habilidades críticas y de indagación, permite una variedad de estrategias, desencadena la generación de conjeturas y apoya demostración matemática. Por otro lado, el desarrollo de una fluidez tecno-matemática abarca la exploración de las posibilidades de varias herramientas matemáticas digitales, y esto puede beneficiarse al conectar la tecnología y los problemas matemáticos no rutinarios. (p. 1135) En el ámbito nacional y regional del Valle del Cauca, el Ministerio de Educación Nacional (MEN), las secretarías de Educación y la Universidad del Valle han acatado las directrices generadas desde la investigación educativa, para implementar las tecnologías digitales en Educación Matemática. Gracias a estos esfuerzos, las Instituciones Educativas cuentan hoy con infraestructura y actualización parcial de los docentes en esta materia. Sin embargo, no es notorio el impacto que tienen estas iniciativas sobre los resultados de aprendizaje. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 39 En el año 2014, la UNESCO realizó el Acuerdo de Mascate, elaborado mediante amplias consultas y aprobado en la Reunión Mundial sobre la Educación para Todos (EPT) de 2014, que sirvió de fundamento para las metas de educación propuestas por el Grupo de Trabajo Abierto sobre los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS). La UNESCO, en coorganización con la UNICEF, el Banco Mundial, la UNFPA, el PNUD, La ONU, mujeres y el ACNUR, realizaron en mayo de 2015 el evento denominado Educación 2030. En dicho evento, los ministros de Educación, los jefes y miembros de delegaciones de los estados participantes, los jefes de organismos y funcionarios de organizaciones multilaterales y bilaterales, los representantes de la sociedad civil, de la profesión docente, de los jóvenes y del sector privado, construyeron el documento denominado Declaración de Incheon y Marco de Acción para la realización del Objetivo de Desarrollo Sostenible 4. Específicamente, esta declaración construye una plataforma de trabajo para cumplir el objetivo 4 del acuerdo de Mascate que dice lo siguiente: Garantizar una educación inclusiva, equitativa y de calidad y promover oportunidades de aprendizaje durante toda la vida para todos. Este objetivo implica trabajar en las dimensiones de equidad, equitatividad y calidad. La calidad de la educación matemática depende de varias variables, entre ellas: el currículo, la evaluación, la infraestructura escolar, el presupuesto, los materiales, las actividades de aprendizaje, la formación de los profesores, entre otras. Esta última variable ha sido reconocida por diferentes investigadores e instituciones como la variable preponderante en la determinación de la Calidad de la Educación. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 40 Capítulo 2: Marco Teórico 2.1 La Resolución de problemas Matemáticos con Medios. Este marco teórico tiene sus bases en el enfoque de resolución de problemas matemáticos a partir de los trabajos representativos de George Pólya, Alan Schoenfeld y el trabajo en resolución de problemas mediados con tecnologías digitales de Manuel Santos Trigo. Incorpora las ideas de la producción de conocimiento de humanos con medios de Marcelo Borba y Mónica Villareal, y de Helia Jacinto y Susana Carreira, y adopta las ideas de Anna Sierpinska de formas de razonamiento en la resolución de problemas del álgebra lineal, para constituir finalmente el marco teórico e interpretativo “Resolución de Problemas con Medios” La investigación en Educación Matemática que se realiza con las herramientas teóricas del enfoque de Resolución de Problemas Matemáticos (MPS por sus siglas en inglés), se ocupa de analizar el papel de la actividad de resolver problemas en la construcción individual y colectiva de las competencias matemáticas por parte de los estudiantes (Liljedahl, Santos-Trigo, Malaspina, & Bruder, 2016). Este marco teórico se enfoca en analizar la actividad de resolver problemas utilizando herramientas y medios tecnológicos. Al incorporar estas herramientas en el proceso de resolución de problemas, se busca mejorar la comprensión y el razonamiento de los estudiantes. 2.1.1. Postulado: Las matemáticas como una actividad de “Resolución de Problemas” George Pólya (1887 - 1985) fue un gran investigador matemático, reconocido profesor e investigador de la enseñanza de las matemáticas, combinación de facultades que en escasas ocasiones se da en un mismo ser humano (Shirali, 2014). Entre 1919 y 1976 hizo contribuciones trascendentales, por su impacto y vigencia, a la enseñanza de las matemáticas. Como matemático, realizó constantes contribuciones al análisis real y complejo; ya en la cúspide de su carrera, contribuyó como investigador en probabilidad, combinatoria, álgebra y teoría de números (Boas, 1990). En el enfoque de investigación en Resolución de Problemas Matemáticos, una obra influyente es ¿How to solve it? (George Polya, 1945). Este libro es considerado un clásico en la Educación Matemática y destaca la importancia de la resolución de problemas como actividad principal en el aprendizaje de las matemáticas. En el prefacio, Pólya presenta un postulado que puede considerarse el fundamento del enfoque de Resolución de Problemas. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 41 Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de un problema, hay un descubrimiento. El problema puede ser sencillo, pero si se pone en juego la curiosidad y se resuelve por medios propios, se experimenta el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo (George Polya, 1945, p. vi). Una forma concreta de este postulado se obtiene delimitando La premisa de vinculación de conocimiento en Guershon Harel (2018) así: “cualquier pieza de conocimiento matemático que los humanos conocen es el resultado de su resolución de un problema” 2.1.2. ¿Cómo Resolver Problemas? El legado de George de Pólya En la primera parte de su libro ¿How to solve it?, presenta lo que se necesita para resolver un problema dividido en cuatro etapas muy conocidas y extensamente usadas: I. Comprender el problema II. Concebir el plan. III. Ejecutar el plan. IV. Visión retrospectiva. Pólya (1945) presenta una lista de preguntas estimulantes y orientadoras para cada etapa de la resolución de problemas. Estas preguntas, también conocidas como aforismos (Liljedahl et al., 2016), ayudan a guiar el proceso de resolución. En la primera etapa, "Comprender el problema", las preguntas están orientadas a identificar lo que se busca y los datos proporcionados. También es importante determinar si la información es suficiente para encontrar una respuesta y si hay información redundante o tácita en el enunciado. En la segunda etapa, "Concebir un plan", se sugiere recordar soluciones a problemas similares o relacionados y enunciar el problema de distintas formas. Si no se puede resolver, se puede intentar resolver un problema similar, más general o un caso particular. En la tercera etapa, "Ejecución del plan", Pólya propone un monitoreo constante y demostrar la validez de cada paso. En la cuarta etapa, "Visión retrospectiva", se debe revisar críticamente si los resultados satisfacen el enunciado del problema, y buscar nuevas estrategias y formas de obtener la solución. También se puede generalizar qué tipo de problemas se pueden resolver con este mismo método. FORMAS DE RAZONAMIENTO QUE MUESTRAN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE ING. EN LA RES.DE PROB. DEL ÁLGEBRA LINEAL CON MEDIOS DIGITALES 42 2.1.3. Con la mirada puesta en la Estrella Polar: La heurística moderna La heurística, según Pólya, se define como el método que conduce a la solución de un problema. Se trata de una disciplina que se relaciona con la psicología y la filosofía y que ha sido tratada de manera general en el pasado. En el prefacio del primer volumen de su obra “Mathematical Discovery” (George Polya, 1981), Pólya menciona que la heurística era un concepto olvidado y desprestigiado en su época, pero que no temía utilizarlo. Según él, en las matemáticas se pueden encontrar vestigios de la heurística en los comentadores de la obra de Euclides, como el trabajo de Pappus, al cual dedica varios apartados en sus propias obras. Otros autores relevantes en las obras de Pólya son René Descartes (1596-1650), Gottfriet Leibniz (1646- 1716) y Bernardo Bolzano (1781-1848). Pólya comenta que Bolzano “posee un trabajo detallado y notable sobre heurística” (George Polya, 1945, p. 102). Según Regina Bruder en (Liljedahl et al., 2016), el origen de la palabra “heurística” se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.). Bruder argumenta que la palabra “heurística” y el famoso grito de júbilo “¡Eureka!” tienen raíces comunes. Bruder identifica las estrategias heurísticas como “heurismos”. Pólya (1945) busca caracterizar, mediante lo que él llama "heurística moderna", las principales operaciones mentales típicamente útiles para resolver problemas. Además, aclara que ningún trabajo serio puede afirmar que las reglas del descubrimiento son infalibles. Pólya comenta que, aunque Descartes especuló sobre un método universal para resolver todos los problemas y Leibniz formuló la idea de un método perfecto, esto solo es un sueño imposible de alcanzar. Sin embargo, Pólya termina su reflexión en este sentido con un atisbo de esperanza, afirmando que: "Nadie ha alcanzado la estrella