Resumen en español

Desde un enfoque histórico-epistemológico en este trabajo evidenciamos la consolidación de las nociones de derivada y de diferencial en su proceso de extensión y generalización. Para tal efecto, realizamos un estudio de la evolución del pensamiento geométrico, variacional y analítico a través de la resolución de ciertos problemas que confluyen en el surgimiento del concepto de funcional y el posterior desarrollo del cálculo diferencial en espacios de naturaleza cualquiera; conceptos cada vez más útiles en las investigaciones en matemáticas. A través de un análisis histórico-epistemológico del desarrollo conceptual de las nociones de derivada y de diferencial se muestran las apuestas teóricas en el propósito de admitir definiciones cada vez más acordes a cada campo de acción, centrándonos con especial interés en la época comprendida entre fi nales del siglo XIX y comienzos del siglo XX. Estudiamos la génesis, consolidación y formalización de las diferentes de finiciones de diferencial y derivada, prestando especial atención en los trabajos de Vito Volterra y de Maurice Fréchet. Todo esto en el marco de la emergencia del análisis funcional como rama de las matemáticas. Se muestra que este campo teórico tiene como elemento de causalidad la solución de problemas relativos al cálculo de variaciones y a la extensión de algunos métodos del análisis clásico a los espacios abstractos. Se muestra además que el desarrollo de la noción de funcional no puede ser entendido como una mera transferencia de los resultados provenientes del análisis clásico de funciones; y para abordarlos fue necesario que los matemáticos desarrollaran diferentes técnicas, en las cuales notamos un potencial formativo a favor del conocimiento de los matemáticos en formación, evidenciando una relación entre las intenciones de formación y los objetos matemáticos de estudio.