Examinando por Autor "Muñoz Grajales, Juan Carlos"
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Publicación Acceso abierto Aplicación de la teoría de semigrupos al estudio analítico de un modelo para el condensado de Bose-Einstein(Universidad de Valle, 2019) Castaño Aristizábal, John Ericson; Muñoz Grajales, Juan CarlosPublicación Acceso abierto Una aplicación de redes neuronales en la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales evolutivas(Universidad del Valle, 2025) Tapie Taimal, Darwin Ferney; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo nos enfocamos en la implementación y aplicación de redes neuronales informadas por la física (Physics Informed Neural Networks, PINNs) para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de tipo evolutivo. Las PINNs representan un enfoque innovador dentro del campo del aprendizaje automático científico, dado que integran principios físicos en el proceso de entrenamiento. Presentamos un estudio de la teoría relacionada con redes neuronales y su capacidad como aproximadores universales. Explicamos en detalle la aplicación del enfoque PINNs tanto para problemas directos como inversos, en modelos evolutivos como la ecuación de Burgers viscosa (VB) y la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) en una dimensión. En cuanto a las implementaciones numéricas, estas se realizan en la librería especializada PyTorch en Python. Los resultados muestran que las PINNs aproximan adecuadamente soluciones, aunque presentan limitaciones en puntos de discontinuidad y su exactitud varía con la arquitectura elegida. Finalmente, se realiza un estudio comparativo con el método de elementos finitos (FEM), donde este destaca por su rapidez y escalabilidad, mientras que las PINNs ofrecen flexibilidad, bajo consumo de memoria, son libres de malla y presentan ventajas al ejecutarse en GPU.Publicación Acceso abierto Aplicación del teorema de Stone a la ecuación de Schrödinger con potencial variable(Universidad de Valle, 2017) Muñoz Alvear, Carlos Alberto; Muñoz Grajales, Juan CarlosEl propósito es realizar un trabajo monográfico, haciendo un estudio matemático del problema, entendiendo y exponiendo con detalle los resultados y la teoría empleada para el estudio de la ecuación con las características mencionadas, y proporcionando donde es posible, ejemplos de los conceptos necesarios. Es muy importante destacar que si la funcón potencial V es constante, el problema (1) puede resolverse explícitamente usando solamente la transformada de Fourier. Sin embargo, hay una mayor di¿cultad cuando la función V (x) que describe el potencial depende de la variable x, pues ya la transformada de Fourier no es su¿ciente para resolver el problema. La dificultad es resuelta introduciendo conceptos y teoría del Análisis Funcional, tales como, operador lineal acotado y no acotado, teoría de semigrupos, teorema de Hille-Yosida, teorema de LumerPhillips, y teorema de Stone, entre otros, para poder abordar el problema (1). Esta es la motivación de incluir estos temas en los capítulos 1 y 2 del presente trabajo.Publicación Acceso abierto Buena colocación local y estudio numérico de una ecuación tipo Kadomtsev-Petviashvili (KPI) con coeficientes variables(Universidad del Valle, 2021) Loaiza Motato, Gerardo Arturo; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo se considera una ecuación bi-dimensional tipo Kadomtsev- Petviashvili (GKPI) con coeficientes dependientes del tiempo y se demuestra la buena colocación local del problema de Cauchy, en el caso de dominio espacial periódico. Para este mismo problema se logra demostrar una importarte ley de conservación. Se plantea además una propuesta numérica, basada en elementos finitos lineales, sobre un espacio mixto para la discretización espacial, y un método implícito para la correspondiente discretización temporal. También se establece una propuesta numérica para la aproximación numérica de las soluciones de la ecuación GKPI estudiada en un dominio rectangular en el plano y sobre un dominio planar periódico.Publicación Acceso abierto Ecuaciones dispersivas para ondas acuáticas.(2011-10-13) Muñoz Grajales, Juan CarlosEn la literatura existen varios modelos para describir la propagación de ondas en la superficie de un fluido que ocupa un canal raso con profundidad constante. En particular, se han deducido formalmente algunos modelos simplificados a partir de la formulación potencial de las ecuaciones de Euler [1], [3], [14], [16]. En este trabajo calculamos estimativos en la norma de L2 que nos permiten comparar las soluciones de un sistema del tipo Boussinesq y las ecuaciones de Euler, en el caso lineal, dentro de un intervalo de tiempo que depende del parámetro de dispersión de los modelos. Validamos la teoría presentada a través de algunos experimentos numéricos.Publicación Acceso abierto Estudio analítico y numérico de un sistema de Stokes no homogéneo planar con densidad y viscosidad variables(Universidad del Valle, 2024) González Betancourth, Edward Duván; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo de grado estudiamos el sistema de Stokes no homogéneo estacionario, bidimensional con densidad y viscosidad variables en un dominio planar Ω ⊂ R2 en forma de canal rectangular estudiado en el cual describe el flujo de un fluido viscoso en un canal rectangular tomando en cuenta los efectos de fricción contra las paredes del canal. La estrategia es reformular el sistema diferencial original en una formulación integral escribiendo la densidad en términos de la función de corriente, para la cual se establece la existencia y unicidad de soluciones débiles con ayuda de los teoremas de punto fijo de Schauder. Además, se deduce otra formulación integral apropiada para el sistema de Stokes, para la cual se facilita la implementación de un esquema numérico basado en el método de los elementos finitos, utilizando la librería FeniCS sobre Python. Finalmente, se presentan los resultados de experimentos numéricos para algunos valores constantes de la densidad y viscosidad utilizando el esquema numérico propuesto.Publicación Acceso abierto Estudio analítico y numérico de un sistema tipo Benjamin-Ono para ondas internas.(Universidad del Valle, 2021-07-26) Muñoz Grajales, Juan Carlos; Escobar, León Darío; Grupo de investigación Ecuaciones Diferenciales Dispersivas y Teoría de Control.En este proyecto, se estudió con un enfoque numérico un sistema de tipo Benjamin- Ono generalizado (gBO) que describe la propagación de ondas internas que se forman en un fluido estratificado que consta de dos capas con densidades constantes diferentes. Los objetivos específicos que se propusieron son los siguientes: 1.Implementar un esquema numérico de tipo espectral para aproximar la solución del problema de Cauchy asociado al sistema (gBO). 2.Analizar numéricamente el orden de error, y propiedades de los esquemas numéricos propuestos, tales como, la convergencia y la estabilidad. 3.Implementar un esquema numérico para aproximar soluciones de onda viajera (periódicas y no periódicas) para el sistema (gBO).Publicación Acceso abierto Existencia, unicidad y aproximación numérica para un modelo de ondas dispersivas en un canal con bifurcación(Universidad de Valle, 2019) Alpala Canacuan, David Salvador; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo se establece la existencia y unicidad del problema de valor inicial-frontera asociado a la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (BBM) ut + ux + uux ¿uxxt = 0, (BBM) en la semirrecta real, y de un sistema de ecuaciones BBM en la semirrecta, el cual es un modelo asociado a la propagación de ondas en una Y -unión con aristas semi-infinitas. Además, el desarrollo de este trabajo permitirá al autor iniciar su estudio en el tema de las ecuaciones diferenciales de evolución de tipo dispersivo tanto del punto de vista analítico como numérico. Se realizar un estudio detallado, siguiendo los resultados desarrollados en [2], e incluyendo los detalles en las demostraciones de los resultados que no se encuentran directamente en los artículos de referencia, junto con la teoría necesaria en el estudio de los problemas de valor inicial-frontera considerados. Además, se realiza una exploración numérica de los modelos considerados mediante el uso de las rutinas del software Mathematica de Wolfram para aproximar soluciones de problemas de valor inicial-frontera asociados a ecuaciones diferenciales parcialesPublicación Acceso abierto Medidas vectoriales y análisis armónico(Universidad del Valle, 2018) Posada Vera, Liliana; Muñoz Grajales, Juan Carlos; Delgado, Julio CésarEn este manuscrito nos hemos centrado en el estudio de propiedades fundamentales de la teoría de medidas vectoriales: integración vectorial, diferentes tipos de convergencia de medidas vectoriales, espacios Lp asociados a medidas vectoriales, análisis armónico y algunas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Dicho estudio ha requerido del desarrollo de otros conceptos como el producto tensorial de espacios de Banach, medida producto de medidas vectoriales, Teorema de Fubini, producto de convolución y producto tensorial de retículos de Banach.Publicación Acceso abierto Ondas viajeras periódicas para un sistema Benjamín-Ono regularizado(Universidad del Valle, 2016) Pipicano Guzmán, Felipe Alexander; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo de grado, consideramos un sistema integro-diferencial de ecuaciones en derivadas parciales tipo Benjamin-Ono regularizado. Nuestro objetivo principal es establecer, bajo ciertas condiciones, la existencia de soluciones tipo ondas viajeras periódicas. Para ello, reescribimos el problema como uno de punto fijo para un operador apropiado y empleamos la teoría del grado topológico para operadores positivos en espacios de Banach. Además, empleamos un esquema pseudoespectral de alta precisión basado en una descomposición de Fourier para construir aproximaciones numéricas de estas soluciones estacionarias.Publicación Acceso abierto Sobre la existencia, unicidad y aproximación numérica de un sistema de tipo Burgers con viscosidad en 2D(Universidad del Valle, 2025) Castaño Aristizabal, John Ericson; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo se realiza en primer lugar un estudio acerca de la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial-frontera asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales de tipo Burgers con término difusivo en un dominio acotado con frontera suave en 2D. Se utilizan dos enfoques teóricos: el de la teoría de semigrupos y el método de Faedo-Galerkin, y se explican las diferencias técnicas de los resultados obtenidos. En segundo lugar, se introduce un esquema numérico implícito de primer orden en el tiempo y elementos finitos de primer orden en el espacio, basado en la librería FEniCS sobre Python, para aproximar las soluciones del sistema considerado. Algunas simulaciones dan evidencia de que el esquema numérico converge y reproduce apropiadamente las condiciones de frontera de tipo Dirichlet homogéneas prescritas.Publicación Acceso abierto Solitary wave solutions of a weakly dispersive system.(2013-08-09) Muñoz Grajales, Juan Carlos; Rivas Triviño, IvonneEn este trabajo establecemos un teorema de buena colocación global de un problema de valor inicial asociado a un sistema de tipo Boussinesq generalizado, extendiendo los resultados presentados por Muñoz and Rivas (2008). Se describe la estructura Hamiltoniana de este sistema, y además demostramos que posee soluciones de onda solitaria para cierto rango de velocidad de onda usando la teoría desarrollada en Toland (1986).