Técnicas de regularización, y los problemas del coeficiente en la ecuación de transmisividad y la geometría de las distancias.

Abstract

Este trabajo está dividido en tres capítulos: un primer capítulo dedicado principalmente a la teoría general de regularización, el segundo se encarga del problema de la geometría de las distancias y el tercero del problema de identificación del coeficiente en la ecuación de transmisividad. En el primer capítulo se establece las definiciones de problemas directo e inverso asociado a un fenómeno a estudiar, además de establecer lo que es un problema mal planteado o mal condicionamiento, definición atribuida a Hadamard en 1903. Dichos conceptos se ilustran por medio de algunos ejemplos de interés que son ampliamente conocidos en la comunidad matemática. Además, se presenta una forma de resolver el mal condicionamiento del problema mediante las llamadas técnicas o métodos de regularización, las cuales se de nen en este capítulo y además se presentan tres métodos que serán utilizados en los capítulos anteriores: el método de molificación, de Landwber y de Tikhonov. Por último, se presentan los resultados concernientes a la regularización de problemas poco densos, un campo de estudio que empieza a tomar cierta relevancia dentro de la teoría de los problemas inversos. En el segundo capítulo, se realiza un estudio del problema de la geometría de las distancias. Aquí, se define el problema, se resaltará su importancia teórica y aplicada de este, se presentará una idea intuitiva utilizando conceptos provenientes de la geometría y se se formalizará matemáticamente mediante el empleo de los conceptos de grafo y de realización. En este capítulo también se presentan algunos ejemplos de este problema en 2 y 3 dimensiones, se estudia el mal condicionamiento del problema, se hará un estudio detallado de la solución clásica de este problema y se aplica el método de regularización de Tikhonov para encontrar una mejor solución del problema. El último capítulo se sientan las bases sobre el problema de identificación de coeficiente en la ecuación de transmisividad. En este capítulo, se presentará la motivación que subyace a esta ecuación, se solucionarán tanto el problema inverso como el directo y se aplicará un método propuesto por la directora de este proyecto de investigación y desarrollado por el estudiante a cargo, para encontrar la solución de este problema. Es importante mencionar que este método ayuda a solucionar diferentes ecuaciones diferenciales, sus detalles teóricos se encuentran dentro del trabajo de investigación y su eficacia se comparo con otros métodos de regularización mediante el desarrollo de algoritmos s en el programa de cálculo numérico Mathematica 9.0.