Maestría en ciencias - matemáticas
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Publicación Acceso abierto La constante de cuantización para retículos euclidianos de Tipo I en las primeras dimensiones superiores(Universidad del Valle, 2025-10) Iquinás Volverás Norida Manuela; velasquez soto, Juan Miguel; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo de investigación se pretende realizar una compilación de conceptos y resultados concernientes a la teoría de retículos euclidianos (o lattices), como también de algunos elementos de la teoría de grafos y la combinatoria, con el objetivo de estudiar el problema del retículo cuantizador óptimo. Dicho estudio nos permite, en algunas dimensiones, brindar una fórmula de la constante de cuantización para lattices de Tipo I, en función de los parámetros de Selling. La estrategia para calcular la fórmula de la constante de cuantización consiste en realizar una descripción de la celda de Voronoi del lattice, la cual nos permite obtener una partición en símplices de la celda, y por medio de un resultado expuesto por Conway y Sloane se logra deducir la fórmula. En este proceso se utilizan algoritmos ejecutados en SageMath para verificar las cuentas. Luego, con la fórmula hallada, se hace un estudio numérico de la fórmula, lo cual permite verificar algunos resultados establecidos, con relación a la constante de cuantización para lattices de primer tipo, ésto también se lleva a cabo por medio de algoritmos realizados en SageMath.Publicación Acceso abierto Sobre la existencia, unicidad y aproximación numérica de un sistema de tipo Burgers con viscosidad en 2D(Universidad del Valle, 2025) Castaño Aristizabal, John Ericson; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo se realiza en primer lugar un estudio acerca de la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial-frontera asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales de tipo Burgers con término difusivo en un dominio acotado con frontera suave en 2D. Se utilizan dos enfoques teóricos: el de la teoría de semigrupos y el método de Faedo-Galerkin, y se explican las diferencias técnicas de los resultados obtenidos. En segundo lugar, se introduce un esquema numérico implícito de primer orden en el tiempo y elementos finitos de primer orden en el espacio, basado en la librería FEniCS sobre Python, para aproximar las soluciones del sistema considerado. Algunas simulaciones dan evidencia de que el esquema numérico converge y reproduce apropiadamente las condiciones de frontera de tipo Dirichlet homogéneas prescritas.Publicación Acceso abierto Una aplicación de redes neuronales en la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales evolutivas(Universidad del Valle, 2025) Tapie Taimal, Darwin Ferney; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo nos enfocamos en la implementación y aplicación de redes neuronales informadas por la física (Physics Informed Neural Networks, PINNs) para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de tipo evolutivo. Las PINNs representan un enfoque innovador dentro del campo del aprendizaje automático científico, dado que integran principios físicos en el proceso de entrenamiento. Presentamos un estudio de la teoría relacionada con redes neuronales y su capacidad como aproximadores universales. Explicamos en detalle la aplicación del enfoque PINNs tanto para problemas directos como inversos, en modelos evolutivos como la ecuación de Burgers viscosa (VB) y la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) en una dimensión. En cuanto a las implementaciones numéricas, estas se realizan en la librería especializada PyTorch en Python. Los resultados muestran que las PINNs aproximan adecuadamente soluciones, aunque presentan limitaciones en puntos de discontinuidad y su exactitud varía con la arquitectura elegida. Finalmente, se realiza un estudio comparativo con el método de elementos finitos (FEM), donde este destaca por su rapidez y escalabilidad, mientras que las PINNs ofrecen flexibilidad, bajo consumo de memoria, son libres de malla y presentan ventajas al ejecutarse en GPU.Publicación Acceso abierto Estudio de la Dinámica de Diaphorina Citri en presencia de Tamarixia Radiata y otros enemigos naturales(Universidad del Valle, 2024) Cruz Builes, Edward Adrián; MARTINEZ, HECTOR JAIRO; ANÁLISIS NUMÉRICO Y OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS (ANOPI)La modelación matemática de la dinámica poblacional de Diaphorina citri resulta fundamental para el diseño de estrategias de control biológico y la prevención de su impacto en la citricultura. Este trabajo de grado desarrolla un modelo mejorado basado en el estudio previo propuesto por investigadores cubanos [11], identificando y corrigiendo inconsistencias en la interpretación y modelación de las interacciones ecológicas del sistema. A partir de una revisión crítica del modelo propuesto por los investigadores, se detectaron fallas en la definición de variables y en la representación de términos que no reflejan adecuadamente la dinámica biológica de Diaphorina citri y sus enemigos naturales. En este trabajo de investigación se propone un nuevo modelo matemático que incorpora de manera precisa las interacciones del insecto fitófago Diaphorina citri con sus enemigos naturales, la avispa parasitoide Tamarixia radiata, el hongo entomopatógeno Hirsutella citriformis y los depredadores generalistas, Cycloneda sanguínea y Chrysopidae. Este modelo ajustado considera todas las etapas del ciclo de vida de Diaphorina citri, su influencia en los brotes sanos de árboles cítricos en su reproducción, y la interacción con sus controladores biológicos; considera también las etapas de vida de Tamarixia radiata, y el aporte en el control biológico del insecto fitófago, con hongos y depredadores. El modelo fue sometido a un riguroso análisis cualitativo determinando sus puntos de equilibrio, algunos de forma analítica, y otros de forma numérica desde el Método Monte Carlo; luego hacemos el respectivo análisis de estabilidad para estos puntos de equilibrio. Los resultados obtenidos permiten establecer una base teórica más robusta para el manejo integrado de Diaphorina citri y contribuir a estrategias de control biológico más eficientes. Se concluye que la presencia de Tamarixia radiata, Hirsutella citriformis y los depredadores son determinantes en la regulación de Diaphorina citri.Publicación Acceso abierto Un estudio de propagación de tuberculosis a partir del modelamiento epidemiológico(Universidad del Valle, 2022) Bastidas Santacruz, Hanner Estiven; Vasilieva, Olga; ANÁLISIS NUMÉRICO Y OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS (ANOPI)La tuberculosis pulmonar (TB) es un problema de salud pública en muchos países del mundo y constituye una de las principales causas de morbilidad y mortalidad. La tuberculosis es causada por una especie de bacteria patógena llamada Mycobacterium tuberculosis o bacilo de Koch. Las bacterias pueden atacar cualquier parte del cuerpo, pero generalmente atacan los pulmones. Una persona susceptible puede infectarse al inhalar bacilos en el aire. Una característica epidemiológica notable de la TB es su largo período de latencia, durante el cual una persona lleva los bacilos pero no puede propagar la enfermedad a otros. Las personas latentes cuyos sistemas inmunes están debilitados debido a la desnutrición o comorbilidades (influenza, neumonía, COVID19, enfermedad renal, diabetes, etc.) o aquellos que reciben tratamientos inmunosupresores para el VIH, cáncer o trasplantes pueden desarrollar una forma activa de tuberculosis en cualquier momento, y luego deberían requerir tratamiento. Varios estudios han señalado que los pacientes con una forma activa de TB no siempre completan el tratamiento, y el abandono del tratamiento se produce debido a diferentes factores. Entre ellos, están los factores relacionados con el paciente (como baja renta, desempleo, analfabetismo), los factores relacionados con los servicios de salud (menor disponibilidad, acceso intermitente y estructura burocrática) y los factores relacionados con las características del tratamiento en sí (larga duración y posiblemente efectos adversos). Por lo tanto, es importante tener en cuenta estos factores en el modelado matemático de la transmisión de TB.Publicación Acceso abierto Puntos críticos en membranas deflectadas(Universidad del Valle, 2011) Avilez Ortiz, Sergio Miguel; arango cabarcas, jaime alfonsoEn este trabajo de investigación se desarrollan unas herramientas para el estudio de puntos críticos de las soluciones de la ecuación de Poisson en el plano. De manera más precisa se emplean técnicas de la variable compleja para el estudio de la función determinante de la matriz Hessiana de las soluciones de la ecuación de Poisson.Publicación Acceso abierto Sobre las hipersuperficies con curvatura mediante constante en Hn(Universidad del Valle, 2011) Suárez Motato, Frank Didier; Perdomo Ortiz, Oscar MarioSea H^n = { x ∈ R^{n+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2 − x_{n+1}^2 = −1, x_{n+1} > 1 } y sobre H^n la pseudométrica dada por ⟨x, y⟩_1 = x1y1 + x2y2 + ⋯ + xnyn − x_{n+1}y_{n+1}. Si φ : M → H^n ⊂ R^{n+1} es una inmersión de una variedad orientada n-dimensional, la pseudométrica ⟨ , ⟩_1 define una métrica riemanniana sobre cada espacio tangente a M en p. Para cada v ∈ R^{n+1}, definimos la función l_v : M → R, como l_v(x) = ⟨φ(x), v⟩_1, y la función f_v : M → R por f_v(x) = ⟨ν(x), v⟩_1, donde ν : M → S^n es una aplicación de Gauss definida sobre M. Probaremos que si M tiene curvatura media constante y para algún λ ∈ R se tiene que l_v = λ f_v, entonces φ(M) es una hipersuperficie totalmente umbilíca: H^{n−1}(v, c) = { x ∈ H^n | ⟨x, v⟩_1 = c } o una hipersuperficie de Clifford: M_k(r) = { (x, y) ∈ R^{k+1} × R^{l+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ − x_{k+1}^2 = r^2, y_{k+2}^2 + y_{k+3}^2 + ⋯ + y_n^2 − y_{n+1}^2 = −1 − r^2 } Donde l = n − k − 1.Publicación Acceso abierto Hipersuperficies espaciales del espacio de de Sitter(Universidad del Valle, 2024) Benavides Luna, Jeison; Mesa, HeberEn este trabajo de investigación se introduce un modelo esterográfico para el espacio de de Sitter, el cual es visualmente acotado y topológicamente un anillo abierto. En este modelo, la frontera asintótica del espacio de de Sitter se determina como la unión de dos esferas disjuntas y se caracterizan las geodésicas a través de lineas y círculos euclidianos. Además, se prueba que las inmersiones propias y espaciales de variedades completas y no compactas en el espacio de de Sitter son tangentes a la frontera asintótica. A través de la fórmula de representación presentada por A. Roldán se estudian las inmersiones espaciales de dominios esféricos en el espacio de de Sitter, obteniendo una correspondencia entre la familia de hipersuperficies espaciales totalmente umbilicales satisfaciendo |H| > 1 y la familia de bolas totalmente geodésicas de una de las componentes conexas de la frontera asintótica del espacio de de Sitter.Publicación Acceso abierto Constante de cuantización para retículos euclideanos de tipo I en dimensión 5(Universidad del Valle, 2024) Tovar Pastrana, Daniel Stiven; velasquez soto, Juan MiguelUn retículo euclideano o lattice euclideano es un subconjunto Λ de Rn que consiste de todas las combinaciones lineales enteras de n vectores linealmente independientes. Los lattices de primer tipo son especiales porque poseen la propiedad de tener superbase obtusa. Esta característica se traduce en que debe existir un conjunto de n+1 vectores del lattice donde la suma de todos estos vectores sea cero, donde cualquier subconjunto de n vectores es una base del mismo, y el producto interno de cualquiera dos de estos vectores es negativo. La región de puntos que están más cerca de v ∈ Λ que de cualquier otro punto de Λ se conoce como la celda de Voronoi en v.Publicación Acceso abierto Semigrupos de Weierstrass en extensiones tipo Kummer(Universidad del Valle, 2024) Mosquera Hernandez, Luis Felipe; NAVARRO, HORACIOEl estudio de los semigrupos numéricos ha proporcionado una herramienta que permite abordar problemas propios de la teoría de códigos y álgebra. La sencillez de este concepto permite plantear problemas de fácil comprensión, pero cuya resolución dista mucho de ser trivial; este hecho atrajo a varios matemáticos como Frobenius y Sylvester a finales del siglo XIX. Durante la segunda mitad del siglo pasado, los semigrupos numéricos volvieron a escena debido principalmente a sus aplicaciones en cuerpos de funciones algebraicas. Por ejemplo, el conocimiento de la estructura del semigrupo de Weierstrass en un lugar racional de un cuerpo de funciones algebraicas tiene varias implicaciones, entre estas se encuentra la búsqueda de cotas superiores para el número de lugares racionales como las encontradas por Lewittes y Geil-Matsumoto y la construcción sobre cuerpos finitos de códigos álgebro-geométricos con buenos parámetros.Publicación Acceso abierto Estudio analítico y numérico de un sistema de Stokes no homogéneo planar con densidad y viscosidad variables(Universidad del Valle, 2024) González Betancourth, Edward Duván; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo de grado estudiamos el sistema de Stokes no homogéneo estacionario, bidimensional con densidad y viscosidad variables en un dominio planar Ω ⊂ R2 en forma de canal rectangular estudiado en el cual describe el flujo de un fluido viscoso en un canal rectangular tomando en cuenta los efectos de fricción contra las paredes del canal. La estrategia es reformular el sistema diferencial original en una formulación integral escribiendo la densidad en términos de la función de corriente, para la cual se establece la existencia y unicidad de soluciones débiles con ayuda de los teoremas de punto fijo de Schauder. Además, se deduce otra formulación integral apropiada para el sistema de Stokes, para la cual se facilita la implementación de un esquema numérico basado en el método de los elementos finitos, utilizando la librería FeniCS sobre Python. Finalmente, se presentan los resultados de experimentos numéricos para algunos valores constantes de la densidad y viscosidad utilizando el esquema numérico propuesto.Publicación Acceso abierto Teorema de Noether y sus aplicaciones, desde un punto de vista geométrico(Universidad del Valle, 2007) Bonilla Camelo, Lina del Pilar; Perdomo Ortiz, Oscar MarioEl objetivo principal de este trabajo fue el de elaborar una demostración, con todos los detalles y completamente rigurosa, del teorema que establece que el movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo, en ausencia de fuerza externas, tiene 4 primeras integrales, es decir, se tienen 4 leyes de conservación. Nuestro punto de partida fue la explicación de este resultado y la presentación de mecánica clásica dada en el libro de Arnold [1]. Con este objetivo en mente, empezamos nuestro trabajo dando definiciones, a nuestro parecer un poco diferentes de las habituales, de un sistema físico y de un espacio de configuración. Estas nos permiten definir de una manera natural un lagrangiano en el espacio de configuración de un sistema físico, conociendo el lagrangiano para una partícula y un grupo de difeomorfismos en el espacio de configuración; los cuales reflejan las simetrías del sistema, En el apéndice, damos una demostración, a nuestro parecer un poco diferente de la habitual, de que la ́única superficie compacta y orientable que admite un campo vectorial tangente que no se anula, es el toro.Publicación Acceso abierto Técnica de regulización para la identificación simultánea del término fuente y la temperatura en la ecuación del calor(Universidad del Valle, 2012) Peralta Navarro, Jenifer; HINESTROZA, DORISEn este trabajo consideraremos el problema de identificar el término fuente en la ecuación del calor. Se hará una introducción a la ecuación del calor como problema directo y a las diferentes aplicaciones y soluciones numéricas. En el capítulo 3, se analizará el método generalizado de Tikhonov, mostrando los teoremas de existencia, convergencia y estabilidad. En el capítulo 4, se desarrollará el método generalizado de Tikhonov al problema considerado en este trabajo para determinar las fórmulas numéricas que nos identifican el término fuente F. Por último en el capítulo 5, se presentará las conclusiones y trabajo a futuro.Publicación Acceso abierto Una dualidad uniforme para MV-álgebra semisimples(Universidad del Valle, 2012) Peña Rengifo, Celimo Alexander; Ortiz Rico, GuillermoSe establece una representación dual entre la categoría de los espacios uniformes Hausdorff compactos y la categoría de las mv-álgebras semisimples. Para esto se hace una introducción a los conceptos necesarios sobre mv-álgebra, espacios uniformes y categorías, finalmente se definen funtores y transformaciones naturales adecuados. Además se obtienen algunos resultados de representación por medio de esta dualidad y otros independientes de la misma como la definición de una uniformidad para toda mv-álgebra a partir de la función distancia, la cual está estrechamente ligada a la cantidad de ideales de la mv-álgebra.Publicación Acceso abierto La Wavelet Shannon aplicada al canto de las ballenas jorobadas(Universidad del Valle, 2012) Castillo Ponce, Rocío; HINESTROZA, DORISEn este trabajo de investigación se presenta una aplicación de la transformada Wavelet Shannon Real en la búsqueda y definición de patrones en señales de audio generadas por los sonidos repetitivos que verían en amplitud y frecuencia, conocidos como el canto de la ballena jorobada o Yubartas (Megaptera novaeangliae). Para la búsqueda de estos patrones inicialmente se aplica diferentes técnicas a las señales originales para eliminar silencios largos y ciertas componentes de frecuencias que no son necesarios para el análisis, obteniendo como resultado una señal más clara, la cual se procedió a segmentarla en trozos y aplicar la Waveltet Shannon Real a cada uno de los trozos obtenidos, esto se hizo haciendo uso del sofware Matlab y su Tolboox wavelet, obteniendo como resultado gráficas representativas de la parte real y parte imaginaria de la transformada wavelet Shannon. Como las herramientas de Matlab no posee la wavelet Shannon Real se realizó un cálculo matemático y el desarrollo de una corta aplicación para determinar los coeficientes y su grafica. Para ciertos valores de los parámetros real Fc e imaginario Fb, se considera entonces la parte real como la gráfica de la wavelet Shannon Real. Se observó cada una de las gráficas junto a otras dentro del mismo canto de las ballenas en la misma fecha y en diferentes fechas buscando similitudes entre ellas, en este análisis visual la repetición de estas graficas representan un patrón, todas las gráficas pertenecientes a un patrón se recogieron en una misma imagen para comparar mejor su semejanza. Se encontró que los las ballenas jorobada o Yubartas repiten trozos de su canto en diferentes instantes de tiempo.Publicación Acceso abierto Comparación del IPC desagregado y total con modelos Arima(Universidad del Valle, 2020) Rodriguez Enriquez, Jarvi Arley; arango cabarcas, jaime alfonsoEn este trabajo se presenta un análisis de la serie del índice de Precios al Consumidor (IPC) a nivel nacional. El IPC es una medida de la variación en el precio de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares del país conocido como canasta. Con el fin de desarrollar pronósticos para seis meses, entre julio y diciembre de 2018, se tomó una muestra de 89 datos que corresponden a un registro mensual para el grupo de bienes y servicios, desde Enero de 2012 hasta Diciembre de 2018. Para este análisis se utilizaron modelos autorregresivos integrados de promedio móvil (ARIMA), el orden del modelo dependerá de los criterios dados por las pruebas de hipótesis y de los criterios de información.Publicación Acceso abierto Cero multiplicidad de sucesiones lineales recurrentes ternarias(Universidad del Valle, 2019) Orozco Gonzales, Jose Luis; Gómez Ruiz, Carlos AlexisEn este trabajo estudiamos la cero-multiplicidad de sucesiones lineales recurrentes ternarias de números racionales. Y presentamos un método para explorar la cero-multiplicidad de una familia de sucesiones recurrentes ternarias a las que llamamos sucesiones tipo Berstel.Publicación Acceso abierto Estimativos Lp para operadores pseudo-diferenciales en Zn(Universidad del Valle, 2011) Rodríguez Torijano, Carlos Andrés; Delgado Valencia, Julio CesarEn esta tesis desarrollamos los fundamentos necesarios para tener un cálculo simbólico discreto y hallamos estimativos L p (Zn). Se usan teoremas de interpolación compleja y algunos resultados de la teoría de la medida para obtener dichos estimativos L p (Zn). La compacidad de estos operadores también es tratada. El estudio de la continuidad tipo - (p, q) de los operadores lineales en Z n enmarca uno de los resultados más relevantes de la investigación. En la tesis se demuestra una gran variedad de resultados de entre los cuales los teoremas principales son los teoremas 2.3.2 y 2.5.3 pues dan una muestra de que la teoría de los operadores pseudo-diferenciales en Z n tiene su propia identidad y que está lejos de ser tan sólo una adaptación de la teoría del caso realPublicación Acceso abierto Técnicas de regularización, y los problemas del coeficiente en la ecuación de transmisividad y la geometría de las distancias.(Universidad del Valle, 2019) Lerma Pineda, Andres Felipe; Hinestroza Gutiérrez, Doris; Martínez Romero, Héctor JairoEste trabajo está dividido en tres capítulos: un primer capítulo dedicado principalmente a la teoría general de regularización, el segundo se encarga del problema de la geometría de las distancias y el tercero del problema de identificación del coeficiente en la ecuación de transmisividad. En el primer capítulo se establece las definiciones de problemas directo e inverso asociado a un fenómeno a estudiar, además de establecer lo que es un problema mal planteado o mal condicionamiento, definición atribuida a Hadamard en 1903. Dichos conceptos se ilustran por medio de algunos ejemplos de interés que son ampliamente conocidos en la comunidad matemática. Además, se presenta una forma de resolver el mal condicionamiento del problema mediante las llamadas técnicas o métodos de regularización, las cuales se de nen en este capítulo y además se presentan tres métodos que serán utilizados en los capítulos anteriores: el método de molificación, de Landwber y de Tikhonov. Por último, se presentan los resultados concernientes a la regularización de problemas poco densos, un campo de estudio que empieza a tomar cierta relevancia dentro de la teoría de los problemas inversos. En el segundo capítulo, se realiza un estudio del problema de la geometría de las distancias. Aquí, se define el problema, se resaltará su importancia teórica y aplicada de este, se presentará una idea intuitiva utilizando conceptos provenientes de la geometría y se se formalizará matemáticamente mediante el empleo de los conceptos de grafo y de realización. En este capítulo también se presentan algunos ejemplos de este problema en 2 y 3 dimensiones, se estudia el mal condicionamiento del problema, se hará un estudio detallado de la solución clásica de este problema y se aplica el método de regularización de Tikhonov para encontrar una mejor solución del problema. El último capítulo se sientan las bases sobre el problema de identificación de coeficiente en la ecuación de transmisividad. En este capítulo, se presentará la motivación que subyace a esta ecuación, se solucionarán tanto el problema inverso como el directo y se aplicará un método propuesto por la directora de este proyecto de investigación y desarrollado por el estudiante a cargo, para encontrar la solución de este problema. Es importante mencionar que este método ayuda a solucionar diferentes ecuaciones diferenciales, sus detalles teóricos se encuentran dentro del trabajo de investigación y su eficacia se comparo con otros métodos de regularización mediante el desarrollo de algoritmos s en el programa de cálculo numérico Mathematica 9.0.Publicación Acceso abierto q-Seudoprimalidad vs w-primalidad(Universidad del Valle, 2017) Domínguez Rave, Luz Elena; Velásquez S, Juan MiguelDesde sus orígenes, la Teoría de Números ha tratado de resolver dos grandes problemas: el primero de estos es determinar si un número es compuesto o no y el segundo es, sabiendo que el número es compuesto, encontrar su descomposición en factores primos. En el artículo 329 de las DISQUISITIONES ARITHMETICAE de Carl F. Gauss, se destaca la importancia de resolver estos problemas, pero además se menciona que los métodos desarrollados para la solución de estos han sido laboriosos y algo tediosos para números grandes . A través del desarrollo tecnológico y la llegada de los computadores el ser humano se ha interesado por implementar algoritmos que se acercan a la solución de dichos problemas basados en teoremas como el Teorema de Pocklington, Teorema de Lucas-Lehmer, entre otros, pero a pesar de estos avances, en términos generales el problema sigue sin solución, ya que siempre es posible encontrar números para los cuales ni los algoritmos actuales, ni la capacidad de computo desarrollada hasta el momento pueden determinar su primalidad. Este hecho ha motivado el desarrollo de teorías que permitan por lo menos saber si un número es compuesto sin saber cuáles son sus factores, o decir con una alta probabilidad que un número es primo.