The anisotropic Bose-Hubbard dimer in the mean field approximation
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Resumen en inglés
This project studies the system formed by two coupled Bose-Einstein condensates, also known as the bosonic Josephson junction. A double-well model is used to trap the ultracold atoms, and special attention is paid to the understudied case of asymmetric wells. A brief introduction to Bose- Einstein condensates and their relationship to optical lattices is provided. The Bose-Hubbard model restricted to two wells is also described, and a large number of particles is considered, allowing for the use of the semiclassical mean-field approximation. By introducing anisotropy into this system, a symmetry breaking in phase space is found, which can be interpreted as a dissipative process emerging in semiclassical dynamics, although the total particle flux is conserved. Additionally, this same system is studied using the spin formalism considering a large number of bosons. Under this approach, the anisotropy affects the system in the same way as a Zeeman effect, where the dimer behaves as an N/2 spin model in the presence of an external magnetic field proportional to ∆. The expectation values of the spin components and their variances are studied, especially for ˆSz , which by definition represents the difference of particles for both wells and depends strongly on the anisotropy. The quantum fluctuations for ˆSx, ˆSy, and ˆSz decrease with increasing particle number, particularly as ∝ 1/N , suggesting that ˆSx, ˆSy, and ˆSz becomes more quantum localized near the semiclassical limit.
Resumen en español
En este proyecto se estudia el sistema formado por dos condensados de Bose-Einstein acoplados, conocido también como juntura bosónica de Josephson. Se usa un modelo de pozo doble para atrapar los átomos ultrafríos y se presta especial atención al caso poco estudiado en la literatura de pozos asimétricos. Para ello se hace una breve introducción a los condensados de Bose-Einstein y su relación con redes ópticas. Se describe también el modelo de Bose-Hubbard restringido a dos pozos y se considera un número grande de partículas que permite hacer uso de la aproximación semiclásica de campo medio. Al introducir la anisotropía en este sistema, se encuentra que hay un rompimiento se simetría en el espacio de fase, que puede ser interpretado como un proceso disipativo que emerge en la dinámica semiclásica, aunque el flujo total de partículas se conserva. Adicionalmente, se estudia este mismo sistema usando el formalismo de espín considerando un número grande de bosones. Bajo este enfoque, la anisotropía afecta a el sistema de la misma forma como un efecto Zeeman, donde el dímero se comporta como un modelo de espín total N/2 en presencia de un campo magnético externo proporcional a Delta. Se estudian los valores esperados de las componentes de espín y sus varianzas, en especial para Sz, que por definición representa la diferencia de partículas para ambos pozos y depende fuertemente de la anisotropía. Las fluctuaciones cuánticas para Sx, Sy, y Sz disminuyen cuando el número de partículas aumenta, particularmente como 1/N, sugiriendo que Sx, Sy, y Sz se vuelva más localizado cuánticamente cerca al límite semiclásico.