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El problema del área: de la medida relativa a la medida abstracta

Resumen en español

Nos propusimos, en esta investigación, analizar el problema del área desde una perspectiva histórico - epistemológica. Fundamentalmente nos interesamos en dar cuenta del cambio conceptual que se fue estableciendo en el intento de dar respuesta al problema de la formalización de la noción de área. Para ello nos basamos en los métodos y resultados de los matemáticos más representativos que trataron de dar respuesta a este problema desde la antigüedad griega hasta la modernidad, en el contexto de la teoría de la medida. Esto nos permitió entender cómo la noción de área fue evolucionando hasta el punto en que los matemáticos vieron la necesidad de establecer una definición formal lo más general posible. A lo largo de la historia, la medida de superficies ha sido uno de los problemas centrales de la matemática. Este problema ha ido cambiando de matices hasta constituirse, a partir del siglo XVIII, en el problema del área. En la matemática moderna, el concepto de medida abstracta se fundamenta en el concepto de función y, particularmente, en el estudio formal del área resulta indispensable el uso del conjunto ordenado de los números reales. En este sentido, el problema del área consiste en asignarle a una región plana acotada un número real positivo que determina su área. Matemáticamente esto significa que si es la función área y es el conjunto de las regiones planas acotadas, entonces la función asigna el número real a cada región del conjunto : Para llegar a los albores de esta conceptualización del área, tuvo que darse un cambio epistemológico a lo largo de un periodo de unos veinticinco siglos, en el que se han identificado tres etapas en la actividad de medir. La primera de ellas es la etapa primaria, que se desarrolló en la escuela pitagórica; la segunda corresponde a la etapa relativa, sistematizada por Euclides y, por último, se identifica la etapa de la medida abstracta, desarrollada por Henri Lebesgue. En cada una de estas etapas, se identificaron los desarrollos matemáticos más significativos que permitieron la evolución del problema del área hasta su conceptualización más general, a comienzos del siglo XX. Para lograrlo hemos orientado nuestra investigación en torno a los siguientes capítulos: la medida de superficies en los antiguos, la medida de superficies mediante la teoría de indivisibles de Cavalieri, la medida de superficies en el marco del surgimiento del cálculo y el problema del área en el análisis.