Examinando por Materia "Ecuaciones diferenciales parciales"
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Publicación Acceso abierto Una aplicación de redes neuronales en la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales evolutivas(Universidad del Valle, 2025) Tapie Taimal, Darwin Ferney; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo nos enfocamos en la implementación y aplicación de redes neuronales informadas por la física (Physics Informed Neural Networks, PINNs) para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de tipo evolutivo. Las PINNs representan un enfoque innovador dentro del campo del aprendizaje automático científico, dado que integran principios físicos en el proceso de entrenamiento. Presentamos un estudio de la teoría relacionada con redes neuronales y su capacidad como aproximadores universales. Explicamos en detalle la aplicación del enfoque PINNs tanto para problemas directos como inversos, en modelos evolutivos como la ecuación de Burgers viscosa (VB) y la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) en una dimensión. En cuanto a las implementaciones numéricas, estas se realizan en la librería especializada PyTorch en Python. Los resultados muestran que las PINNs aproximan adecuadamente soluciones, aunque presentan limitaciones en puntos de discontinuidad y su exactitud varía con la arquitectura elegida. Finalmente, se realiza un estudio comparativo con el método de elementos finitos (FEM), donde este destaca por su rapidez y escalabilidad, mientras que las PINNs ofrecen flexibilidad, bajo consumo de memoria, son libres de malla y presentan ventajas al ejecutarse en GPU.Publicación Acceso abierto Existencia de ondas solitarias para la ecuación generalizada de Kadomtsev - Petviashvili(Universidad de Valle, 2018) Villota Sánchez, Jair Hernando; Quintero Henao, José RaúlPublicación Acceso abierto El problema de Christoffel en el espacio hiperbólico(Universidad de Valle, 2019) Benavides Luna, Jeison; Mesa Palomino, HéberEl objetivo principal de este documento es presentar una formulación del problema de Christoffel en el espacio hiperbólico, Hn+1. Éste problema es bien conocido en el espacio euclidiano, R3, y consiste en determinar una super¿cie convexa una vez se ha predeterminado su aplicación de Gauss y el promedio de los radios de curvatura en cada uno de sus puntos. Para hacer un planteamiento similar se presentan dos modelos del espacio hiperbólico, a saber, el modelo de la bola de Poincaré y el modelo Lorentziano, y una noción de convexidad basada en horoesferas; además, se de¿ne la aplicación hiperbólica de Gauss, la cual tendrá un papel similar a la aplicación de Gauss para hipersuper¿cies en Rn. Como resultado de la formulación del problema de Christoffel se obtiene una relación con el problema de Nirenberg sobre Sn. El presente trabajo se presenta como una descripción de los resultados obtenidos por J. Espinar, J. Galvez y P. Mira en el artículo «Hypersurfaces in Hn+1 and conformally invariant equations: the generalized Christoffel and Nirenberg problems»Publicación Acceso abierto Sobre la existencia, unicidad y aproximación numérica de un sistema de tipo Burgers con viscosidad en 2D(Universidad del Valle, 2025) Castaño Aristizabal, John Ericson; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo se realiza en primer lugar un estudio acerca de la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial-frontera asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales de tipo Burgers con término difusivo en un dominio acotado con frontera suave en 2D. Se utilizan dos enfoques teóricos: el de la teoría de semigrupos y el método de Faedo-Galerkin, y se explican las diferencias técnicas de los resultados obtenidos. En segundo lugar, se introduce un esquema numérico implícito de primer orden en el tiempo y elementos finitos de primer orden en el espacio, basado en la librería FEniCS sobre Python, para aproximar las soluciones del sistema considerado. Algunas simulaciones dan evidencia de que el esquema numérico converge y reproduce apropiadamente las condiciones de frontera de tipo Dirichlet homogéneas prescritas.Publicación Acceso abierto Sobre los operadores pseudodiferenciales en el Toro(Universidad del Valle, 2025) Ospino Tafur, Esteban Daniel; Delgado Valencia, Julio CésarEn este trabajo iniciaremos con la definición del Toro como un espacio cociente, lo cual permite tratar al toro como un grupo topológico compacto. Además haremos una observación sobre la relación entre el espacio toroidal y el espacio euclidiano. A partir de la estructura toroidal se desarrolla el concepto de operador pseudodiferencial periódico. También se construyen ejemplos concretos sobre funciones periódicas que permiten comprender la estructura y el fundamento de los operadores pseudodiferenciales en el entorno toroidal. Finalmente se estudian propiedades de regularidad asociadas a estos operadores y un teorema que precisa del concepto de elipticidad fuerte.