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Sobre las hipersuperficies con curvatura mediante constante en Hn

Resumen en español

Sea H^n = { x ∈ R^{n+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2 − x_{n+1}^2 = −1, x_{n+1} > 1 } y sobre H^n la pseudométrica dada por ⟨x, y⟩_1 = x1y1 + x2y2 + ⋯ + xnyn − x_{n+1}y_{n+1}. Si φ : M → H^n ⊂ R^{n+1} es una inmersión de una variedad orientada n-dimensional, la pseudométrica ⟨ , ⟩_1 define una métrica riemanniana sobre cada espacio tangente a M en p. Para cada v ∈ R^{n+1}, definimos la función l_v : M → R, como l_v(x) = ⟨φ(x), v⟩_1, y la función f_v : M → R por f_v(x) = ⟨ν(x), v⟩_1, donde ν : M → S^n es una aplicación de Gauss definida sobre M. Probaremos que si M tiene curvatura media constante y para algún λ ∈ R se tiene que l_v = λ f_v, entonces φ(M) es una hipersuperficie totalmente umbilíca: H^{n−1}(v, c) = { x ∈ H^n | ⟨x, v⟩_1 = c } o una hipersuperficie de Clifford: M_k(r) = { (x, y) ∈ R^{k+1} × R^{l+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ − x_{k+1}^2 = r^2, y_{k+2}^2 + y_{k+3}^2 + ⋯ + y_n^2 − y_{n+1}^2 = −1 − r^2 } Donde l = n − k − 1.