Una aplicación del teorema de Sturmfels en la familia de ideales de grafos

Abstract

En este trabajo se realiza una aplicación del teorema 3.1 (véase en 1.1) de Brend Sturmfels, en su artículo [9] “Gröbner Bases of Toric Varieties” (Bases de Groebner de variedades tóricas), donde estudia las variedades tóricas proyectivas desde una perspectiva combinatoria. Este teorema caracteriza los radicales de los ideales iniciales de una variedad tórica como los ideales de Stanley-Reisner de cierta triangulación inducida por un vector de pesos. La autora utiliza dicho resultado tomando la configuración de puntos como los vértices de los grafos K- completos K4 y K5. Por medio de una implementación computacional con el software algebraico Macaulay2 calcula invariantes combinatorias como los f-vectores, complejos simpliciales y ´orbitas de los ideales iniciales resultantes de la acción de los grupos simétricos S4 y S5 respectivamente, encontrando que para el caso de los ideales iniciales del ideal tórico asociado a K4, tienen un único f-vector y todos los ideales iniciales que resultan de la acción del grupo simétrico se encuentran en una única ´orbita. Para el caso de la aplicación computacional de la configuración de K5, encuentra tres f-vectores distintos de los complejos iniciales, y además, tres tipos de ´orbitas de los ideales iniciales con respecto a la acción del grupo simétrico S5.