Maestría en ciencias - matemáticas

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https://hdl.handle.net/10893/3812

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Teorema de Noether y sus aplicaciones, desde un punto de vista geométrico
(Universidad del Valle, 2007) Bonilla Camelo, Lina del Pilar; Perdomo Ortiz, Oscar Mario
El objetivo principal de este trabajo fue el de elaborar una demostración, con todos los detalles y completamente rigurosa, del teorema que establece que el movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo, en ausencia de fuerza externas, tiene 4 primeras integrales, es decir, se tienen 4 leyes de conservación. Nuestro punto de partida fue la explicación de este resultado y la presentación de mecánica clásica dada en el libro de Arnold [1]. Con este objetivo en mente, empezamos nuestro trabajo dando definiciones, a nuestro parecer un poco diferentes de las habituales, de un sistema físico y de un espacio de configuración. Estas nos permiten definir de una manera natural un lagrangiano en el espacio de configuración de un sistema físico, conociendo el lagrangiano para una partícula y un grupo de difeomorfismos en el espacio de configuración; los cuales reflejan las simetrías del sistema, En el apéndice, damos una demostración, a nuestro parecer un poco diferente de la habitual, de que la ́única superficie compacta y orientable que admite un campo vectorial tangente que no se anula, es el toro.
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Estimativos Lp para operadores pseudo-diferenciales en Zn
(Universidad del Valle, 2011) Rodríguez Torijano, Carlos Andrés; Delgado Valencia, Julio Cesar
En esta tesis desarrollamos los fundamentos necesarios para tener un cálculo simbólico discreto y hallamos estimativos L p (Zn). Se usan teoremas de interpolación compleja y algunos resultados de la teoría de la medida para obtener dichos estimativos L p (Zn). La compacidad de estos operadores también es tratada. El estudio de la continuidad tipo - (p, q) de los operadores lineales en Z n enmarca uno de los resultados más relevantes de la investigación. En la tesis se demuestra una gran variedad de resultados de entre los cuales los teoremas principales son los teoremas 2.3.2 y 2.5.3 pues dan una muestra de que la teoría de los operadores pseudo-diferenciales en Z n tiene su propia identidad y que está lejos de ser tan sólo una adaptación de la teoría del caso real
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Sobre las hipersuperficies con curvatura mediante constante en Hn
(Universidad del Valle, 2011) Suárez Motato, Frank Didier; Perdomo Ortiz, Oscar Mario
Sea H^n = { x ∈ R^{n+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2 − x_{n+1}^2 = −1, x_{n+1} > 1 } y sobre H^n la pseudométrica dada por ⟨x, y⟩_1 = x1y1 + x2y2 + ⋯ + xnyn − x_{n+1}y_{n+1}. Si φ : M → H^n ⊂ R^{n+1} es una inmersión de una variedad orientada n-dimensional, la pseudométrica ⟨ , ⟩_1 define una métrica riemanniana sobre cada espacio tangente a M en p. Para cada v ∈ R^{n+1}, definimos la función l_v : M → R, como l_v(x) = ⟨φ(x), v⟩_1, y la función f_v : M → R por f_v(x) = ⟨ν(x), v⟩_1, donde ν : M → S^n es una aplicación de Gauss definida sobre M. Probaremos que si M tiene curvatura media constante y para algún λ ∈ R se tiene que l_v = λ f_v, entonces φ(M) es una hipersuperficie totalmente umbilíca: H^{n−1}(v, c) = { x ∈ H^n | ⟨x, v⟩_1 = c } o una hipersuperficie de Clifford: M_k(r) = { (x, y) ∈ R^{k+1} × R^{l+1} | x1^2 + x2^2 + ⋯ − x_{k+1}^2 = r^2, y_{k+2}^2 + y_{k+3}^2 + ⋯ + y_n^2 − y_{n+1}^2 = −1 − r^2 } Donde l = n − k − 1.
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Puntos críticos en membranas deflectadas
(Universidad del Valle, 2011) Avilez Ortiz, Sergio Miguel; arango cabarcas, jaime alfonso
En este trabajo de investigación se desarrollan unas herramientas para el estudio de puntos críticos de las soluciones de la ecuación de Poisson en el plano. De manera más precisa se emplean técnicas de la variable compleja para el estudio de la función determinante de la matriz Hessiana de las soluciones de la ecuación de Poisson.
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Cálculo fraccionario aplicado al problema inverso del calor [recurso electrónico]
(Universidad del Valle, 2011) Vargas Jiménez, Luisa Fernanda; Hinestroza G, Doris
En este trabajo hacemos un estudio del concepto de derivada de orden fraccionario, consideramos tres definiciones distintas y vemos bajo que condiciones coinciden. Este concepto es considerado para más adelante estudiar una generalización del problema inverso del calor, el cual bajo ciertas condiciones, tendría como solución una ecuación del ujo definido en términos de la derivada de orden fraccionario. Veremos que el cálculo de dicho ujo corresponde a un problema inverso mal puesto y mostraremos cómo usando molificación podemos superar el problema de la mal postura en el cálculo de la derivada de orden fraccionario. Finalmente, presentaremos algunos ejemplos que ilustran lo expuesto anteriormente.
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La Wavelet Shannon aplicada al canto de las ballenas jorobadas
(Universidad del Valle, 2012) Castillo Ponce, Rocío; HINESTROZA, DORIS
En este trabajo de investigación se presenta una aplicación de la transformada Wavelet Shannon Real en la búsqueda y definición de patrones en señales de audio generadas por los sonidos repetitivos que verían en amplitud y frecuencia, conocidos como el canto de la ballena jorobada o Yubartas (Megaptera novaeangliae). Para la búsqueda de estos patrones inicialmente se aplica diferentes técnicas a las señales originales para eliminar silencios largos y ciertas componentes de frecuencias que no son necesarios para el análisis, obteniendo como resultado una señal más clara, la cual se procedió a segmentarla en trozos y aplicar la Waveltet Shannon Real a cada uno de los trozos obtenidos, esto se hizo haciendo uso del sofware Matlab y su Tolboox wavelet, obteniendo como resultado gráficas representativas de la parte real y parte imaginaria de la transformada wavelet Shannon. Como las herramientas de Matlab no posee la wavelet Shannon Real se realizó un cálculo matemático y el desarrollo de una corta aplicación para determinar los coeficientes y su grafica. Para ciertos valores de los parámetros real Fc e imaginario Fb, se considera entonces la parte real como la gráfica de la wavelet Shannon Real. Se observó cada una de las gráficas junto a otras dentro del mismo canto de las ballenas en la misma fecha y en diferentes fechas buscando similitudes entre ellas, en este análisis visual la repetición de estas graficas representan un patrón, todas las gráficas pertenecientes a un patrón se recogieron en una misma imagen para comparar mejor su semejanza. Se encontró que los las ballenas jorobada o Yubartas repiten trozos de su canto en diferentes instantes de tiempo.
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Técnica de regulización para la identificación simultánea del término fuente y la temperatura en la ecuación del calor
(Universidad del Valle, 2012) Peralta Navarro, Jenifer; HINESTROZA, DORIS
En este trabajo consideraremos el problema de identificar el término fuente en la ecuación del calor. Se hará una introducción a la ecuación del calor como problema directo y a las diferentes aplicaciones y soluciones numéricas. En el capítulo 3, se analizará el método generalizado de Tikhonov, mostrando los teoremas de existencia, convergencia y estabilidad. En el capítulo 4, se desarrollará el método generalizado de Tikhonov al problema considerado en este trabajo para determinar las fórmulas numéricas que nos identifican el término fuente F. Por último en el capítulo 5, se presentará las conclusiones y trabajo a futuro.
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Una dualidad uniforme para MV-álgebra semisimples
(Universidad del Valle, 2012) Peña Rengifo, Celimo Alexander; Ortiz Rico, Guillermo
Se establece una representación dual entre la categoría de los espacios uniformes Hausdorff compactos y la categoría de las mv-álgebras semisimples. Para esto se hace una introducción a los conceptos necesarios sobre mv-álgebra, espacios uniformes y categorías, finalmente se definen funtores y transformaciones naturales adecuados. Además se obtienen algunos resultados de representación por medio de esta dualidad y otros independientes de la misma como la definición de una uniformidad para toda mv-álgebra a partir de la función distancia, la cual está estrechamente ligada a la cantidad de ideales de la mv-álgebra.
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Un modelo estocástico para las figuras de Chladni.
(Universidad del Valle, 2013) Reyes Kreie, Carlos Andrés; Arango Cabarcas, Jaime Alfonso
A finales del siglo XVIII, E. Chladni observa que la arena fina, esparcida al azar sobre una placa, se reacomoda formando bellos patrones predecibles cuando se excita la placa con una fuerza externa apropiada. Al frotar su borde con un arco de violín, la placa entra en resonancia con una de sus frecuencias naturales y la arena se acomoda sobre las líneas nodales del modo de vibración correspondiente. En este trabajo se propone un modelo plausible en el que la posición de las partículas obedece una ecuación diferencial estocástica (EDE) relativamente simple. El resultado principal muestra que los puntos que conforman las líneas nodales del modo de vibración resonante, son equilibrios estocásticamente estables de la EDE. Para validar el modelo se comparan simulaciones estócasticas con algunos resultados experimentales y las líneas nodales de placas empotradas y placas con frontera libre.
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Un método de elementos finitos precondicionado para la ecuación de Stokes 2D
(Universidad del Valle, 2014) Mejía Rodríguez, Luis Fernando; Duque Arango, Jairo
En este trabajo se considera el problema de Stokes dos dimensional para fluidos incompresibles en el dominio acotado ¿= [0.1]x [0.1]. Se implementa un método de elementos finitos mixtos para aproximar numéricamente la solución al problema de Stokes en sus variables originales (u.p) por (u.p), de este modo, nos encontramos con un sistema de la forma (M/B B/0) (U/P) =(F/0).
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Estimativo al primer valor propio para superficies mínimas compactas inmersas en Sn+1 (n ≥ 2)
(Universidad del Valle, 2014) Castrillón Vásquez, Andrés Julián; García Camacho, Gonzálo
En 1982 el profesor Shing Tung Yau conjetura que el primer valor propio ¿1(M) del laplaciano de una hipersuperficie sin borde, orientable, mínima y conexa inmersa en Sn+1 es igual a n. En 1983 Hyeong In Choi y Ai-nuig Wang prueban que ¿1 ¿ n 2; en el a¿no 2004 Huang Xuango demuestra que la conjetura de Yau se cumple para n ¿ 3, y en el año 2007 Jaig Young Choe junto con Mart Soret demuestran que si M ¿ S3 es una superficie sim´etrica, entonces ¿1 = 2. En este trabajo presentamos los conceptos básicos de geometría diferencial necesarios para demostrar con detalle los resultados de Choi y Wang, junto con los de Barros y Bessa; al igual que el teorema 3.3.2 del artículo de Choe and Soret el cual menciona que el primer valor propio ¿1(M) = 2 donde M es la superficie de Lawson ¿m,k.v
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LA PSEUDOINVERSA EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE DEL ASOCIADOR LINEAL
(Universidad del Valle, 2014) Díaz Toro, Nancy Dayana; Martínez Romero, Héctor Jairo
Muchos algoritmos de aprendizaje de una red neuronal artificial (RNA) requieren resolver problemas de mínimos cuadrados lineales a fin de obtener los pesos sinápticos. Para la RNA conocida como Asociador Lineal, estudiamos algoritmos de aprendizaje y realizamos un análisis comparativo desde el punto de vista de la precisión y la complejidad de estos algoritmos. En este sentido, hemos propuesto algoritmos para resolver el problema de mínimos cuadrados lineales presente en esta red para el caso de matrices con rango deficiente. Comparamos aquellos algoritmos que usan la matriz pseudoinversa teniendo en cuenta seis maneras diferentes de calcularla: Metodo de la Descomposición en Valores Singulares(DVS), método basado en la Factorización de Cholesky Generalizada, m método basado en el proceso de Ortogonalizacion de Gramm-Schmidt, metodo de la Escalonada Reducida, método basado en las ideas de la Proyección del Gradiente, y el último es el método derivado del Teorema de Cayley-Hamilton. Finalmente, a partir de los resultados obtenidos en el estudio comparativo, analizamos el comportamiento de la matriz pseudoinversa en el proceso de aprendizaje de las redes neuronales artificiales Hopfield y Funciones de Base Radial.
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Deformación conforme de métricas sobre una variedad cuya frontera tiene dos componentes conexas
(Universidad del Valle, 2016) Espinal Florez, María Fernanda; García Camacho, Gonzálo
Dada una variedad Riemanniana suave (M; g) n-dimensional, n 3, cuya frontera @M es la unión de dos componentes conexas (@M)1 y (@M)2 se plantea el problema de prescribir tanto la curvatura escalar como la curvatura media de la frontera. El problema de estudio consiste en demostrar la existencia de una métrica ~g puntualmente conforme a la métrica g de tal manera que la curvatura escalar con la nueva métrica sea ~R 0 y la curvatura media sobre la frontera ~hi sea constante sobre cada una de las componentes conexas (@M)i para i = 1; 2 con ~h1 6= ~h2. El problema es equivalente a encontrar una solución positiva suave u de tal manera que ~g = u 4 n¿2 g donde u es solución del problema de valor inicial.
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Ondas viajeras periódicas para un sistema Benjamín-Ono regularizado
(Universidad del Valle, 2016) Pipicano Guzmán, Felipe Alexander; Muñoz Grajales, Juan Carlos
En este trabajo de grado, consideramos un sistema integro-diferencial de ecuaciones en derivadas parciales tipo Benjamin-Ono regularizado. Nuestro objetivo principal es establecer, bajo ciertas condiciones, la existencia de soluciones tipo ondas viajeras periódicas. Para ello, reescribimos el problema como uno de punto fijo para un operador apropiado y empleamos la teoría del grado topológico para operadores positivos en espacios de Banach. Además, empleamos un esquema pseudoespectral de alta precisión basado en una descomposición de Fourier para construir aproximaciones numéricas de estas soluciones estacionarias.
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Una dualidad tipo Gelfand - Priestley
(Universidad de Valle, 2017) Tosse Urbano, Luz Karime; Ortiz Rico, Guillermo
La teoría de categorías como herramienta matemática, juega un papel fundamental en el estudio de estructuras algebraicas y está siendo utilizada principalmente en ciencias de la computación y lógica multivaluada. Al establecer una equivalencia o equivalencia dual entre dos categorías, es posible intercambiar construcciones de la primera a la segunda y viceversa. En [7], Cignoli, Dubuc y Mundici probaron una equivalencia dual entre las categorías MV S[0, 1] de las MV -álgebras semisimples y la categoría Hauss de los espacios Haus- dorf compactos. Por su parte, en [30] J. Varela muestra la dualidad de Gelfand, entre las categorías Hauss y C ¿ (C) de las álgebras de Banach con unidad e involución. En este trabajo de investigación haremos un análisis de los funtores involucrados en estas dualidades, para presentar una equivalencia entre las categorías MV S[0, 1] y C * (C).
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Métodos de regularización para el procesamiento de imágenes ruidosas
(Universidad de Valle, 2017) Pizo Quira, Deissy Marcela; Hinestroza Gutiérrez, Doris
En este trabajo se hace una presentacion del problema de restauración de imágenes ruidosas el cual es un problema inverso mal condicionado, se hace un análisis de dos métodos de regularización que se usan para encontrar buenas soluciones de dicho problema aun en presencia de errores. En el capitulo 1 se hace una introducción de nociones básicas de espacios de Hilbert, operadores compactos y valores singulares. En el capitulo 2 se hace una introducci ¿on a los problemas inversos y algunos ejemplos de inter ¿es. En el capitulo 3 se hace una breve introducci ¿on a la definici ¿on de imagen, formalizaci ¿on del problema en im ¿agenes ruidosas y su correspondiente representaci ¿on matem ¿atica. En el capitulo 4 se hace una presentaci ¿on de los esquemas de regularizaci ¿on usados para la soluci ¿on del problema y en el capitulo 5 el m ¿etodo general que es la combinaci ¿on de dos m ¿etodos como es el truncamiento espectral y la regularizaci ¿on de Tikhonov.
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q-Seudoprimalidad vs w-primalidad
(Universidad del Valle, 2017) Domínguez Rave, Luz Elena; Velásquez S, Juan Miguel
Desde sus orígenes, la Teoría de Números ha tratado de resolver dos grandes problemas: el primero de estos es determinar si un número es compuesto o no y el segundo es, sabiendo que el número es compuesto, encontrar su descomposición en factores primos. En el artículo 329 de las DISQUISITIONES ARITHMETICAE de Carl F. Gauss, se destaca la importancia de resolver estos problemas, pero además se menciona que los métodos desarrollados para la solución de estos han sido laboriosos y algo tediosos para números grandes . A través del desarrollo tecnológico y la llegada de los computadores el ser humano se ha interesado por implementar algoritmos que se acercan a la solución de dichos problemas basados en teoremas como el Teorema de Pocklington, Teorema de Lucas-Lehmer, entre otros, pero a pesar de estos avances, en términos generales el problema sigue sin solución, ya que siempre es posible encontrar números para los cuales ni los algoritmos actuales, ni la capacidad de computo desarrollada hasta el momento pueden determinar su primalidad. Este hecho ha motivado el desarrollo de teorías que permitan por lo menos saber si un número es compuesto sin saber cuáles son sus factores, o decir con una alta probabilidad que un número es primo.
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Un problema de valor inicial con valores de frontera para la ecuación de Benney - Luke
(Universidad de Valle, 2017) Escobar Lasso, Oscar Eduardo; Quintero Henao, Jose Raul
En éste trabajo de investigación se estudiará la buena colocación local para un problema de valor inicial, con condiciones de frontera y condiciones iniciales en espacios de tipo Sobolev adecuados, asociado con la ecuación de Benney-Luke en la semirecta, imponiendo algunas condiciones de compatibilidad en los datos iniciales y de frontera. Ademas, se mostrar´a que la aplicación que asocia a ´estos datos iniciales y de frontera con su respectiva solucio´n al problema es Lipschitz entre espacios de Banach adecuados.
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Una introducción a la teoría de haces y esquemas [recurso electrónico]
(Universidad del Valle, 2017) Rivera Nene, Yazmin; Garzon Rojas, Alvaro
A grandes rasgos, la Geometría Algebraica es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas en el espacio afín o proyectivo; es decir, es el estudio de las variedades algebraicas. De ahí que, el problema principal de la Geometría Algebraica es la clasificación de las variedades. Aquí no pretendemos estudiar dicha clasificación, pero sí buscamos adquirir el lenguaje y las herramientas necesarias como un primer paso para abordar dicho problema. André Weil y Alexander Grothendieck presentaron dos fundamentaciones de la Geometría Algebraica, con lenguajes absolutamente distintos, tanto que ir de un lado a otro es un procedimiento muy complejo, de ahí que se concibieron como incompatibles. Es de resaltar que aunque ambas fundamentaciones son grandes obras de la matemática, fue Alexander Grothendieck quien encontró la forma más adecuada de conectar la Geometría Algebraica y el Álgebra conmutativa mediante la teoría de esquemas, permitiendo así reducir algunos problemas geométricos a problemas del álgebra conmutativa, los cuales pueden ser tratados sin la necesidad de tener mucha familiaridad con la geometría. En éste trabajo seguimos los lineamientos de la teoría expuesta por Grothendieck. Así que haremos una introducción a la teoría de haces y esquemas exhibiendo algunos de los resultados más relevantes y partiendo del supuesto que se tiene un buen manejo del Álgebra Conmutativa.
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Una introducción a la teoría de códigos convolucionales
(Universidad de Valle, 2018) Guerrero Pantoja, Viviana Carolina; Castillo Gómez, John Hermes; Velásquez Soto, Juan Miguel
La teoría de codificación es una de las diversas ramas de la matemática que es atractiva debido a la interacción activa entre las invenciones sofisticadas de ingeniería y las matemáticas abstractas. En este documento se presentan algunos de los conceptos básicos de los códigos convolucionales, los cuales son un tipo de códigos correctores de errores diferentes de los códigos de bloque, cuya principal diferencia entre ellos es la introducción del concepto de memoria para el caso convolucional. Sin embargo, se muestra que algunas de las definiciones aplicables a los códigos de bloque lineales y cíclicos pueden darse también en el contexto de los códigos convolucionales. Además, se expone cómo construir el codificador físico de un código convolucional, cuatro representaciones analíticas y dos representaciones gráficas para realizar el proceso de codificación y la forma de pasar de una representación a otra. También se presenta una breve descripción de los códigos convolucionales cíclico tomando como principal referencia el artículo ¿On Cyclic Convolutional Codes¿ de la autoría de Heide Gluesing-Luerssen y Wiland Schmale del año 2004. En este trabajo se muestra como el programa computacional SAGE es una herramienta útil para facilitar algunos cálculos, que a mano pueden resultar tediosos; permitiendo exhibir ejemplos más grandes a los que suelen encontrarse en la literatura. Este objetivo se logra a partir de la implementación de algoritmos basados en los conceptos aquí presentados.

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