Maestría en ciencias - matemáticas
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Publicación Acceso abierto Una aplicación de redes neuronales en la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales evolutivas(Universidad del Valle, 2025) Tapie Taimal, Darwin Ferney; Muñoz Grajales, Juan Carlos; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo nos enfocamos en la implementación y aplicación de redes neuronales informadas por la física (Physics Informed Neural Networks, PINNs) para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de tipo evolutivo. Las PINNs representan un enfoque innovador dentro del campo del aprendizaje automático científico, dado que integran principios físicos en el proceso de entrenamiento. Presentamos un estudio de la teoría relacionada con redes neuronales y su capacidad como aproximadores universales. Explicamos en detalle la aplicación del enfoque PINNs tanto para problemas directos como inversos, en modelos evolutivos como la ecuación de Burgers viscosa (VB) y la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) en una dimensión. En cuanto a las implementaciones numéricas, estas se realizan en la librería especializada PyTorch en Python. Los resultados muestran que las PINNs aproximan adecuadamente soluciones, aunque presentan limitaciones en puntos de discontinuidad y su exactitud varía con la arquitectura elegida. Finalmente, se realiza un estudio comparativo con el método de elementos finitos (FEM), donde este destaca por su rapidez y escalabilidad, mientras que las PINNs ofrecen flexibilidad, bajo consumo de memoria, son libres de malla y presentan ventajas al ejecutarse en GPU.Publicación Acceso abierto Cálculo fraccionario aplicado al problema inverso del calor [recurso electrónico](Universidad del Valle, 2011) Vargas Jiménez, Luisa Fernanda; Hinestroza G, DorisEn este trabajo hacemos un estudio del concepto de derivada de orden fraccionario, consideramos tres definiciones distintas y vemos bajo que condiciones coinciden. Este concepto es considerado para más adelante estudiar una generalización del problema inverso del calor, el cual bajo ciertas condiciones, tendría como solución una ecuación del ujo definido en términos de la derivada de orden fraccionario. Veremos que el cálculo de dicho ujo corresponde a un problema inverso mal puesto y mostraremos cómo usando molificación podemos superar el problema de la mal postura en el cálculo de la derivada de orden fraccionario. Finalmente, presentaremos algunos ejemplos que ilustran lo expuesto anteriormente.Publicación Acceso abierto Cero multiplicidad de sucesiones lineales recurrentes ternarias(Universidad del Valle, 2019) Orozco Gonzales, Jose Luis; Gómez Ruiz, Carlos AlexisEn este trabajo estudiamos la cero-multiplicidad de sucesiones lineales recurrentes ternarias de números racionales. Y presentamos un método para explorar la cero-multiplicidad de una familia de sucesiones recurrentes ternarias a las que llamamos sucesiones tipo Berstel.Publicación Acceso abierto Comparación del IPC desagregado y total con modelos Arima(Universidad del Valle, 2020) Rodriguez Enriquez, Jarvi Arley; arango cabarcas, jaime alfonsoEn este trabajo se presenta un análisis de la serie del índice de Precios al Consumidor (IPC) a nivel nacional. El IPC es una medida de la variación en el precio de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares del país conocido como canasta. Con el fin de desarrollar pronósticos para seis meses, entre julio y diciembre de 2018, se tomó una muestra de 89 datos que corresponden a un registro mensual para el grupo de bienes y servicios, desde Enero de 2012 hasta Diciembre de 2018. Para este análisis se utilizaron modelos autorregresivos integrados de promedio móvil (ARIMA), el orden del modelo dependerá de los criterios dados por las pruebas de hipótesis y de los criterios de información.Publicación Acceso abierto Constante de cuantización para retículos euclideanos de tipo I en dimensión 5(Universidad del Valle, 2024) Tovar Pastrana, Daniel Stiven; velasquez soto, Juan MiguelUn retículo euclideano o lattice euclideano es un subconjunto Λ de Rn que consiste de todas las combinaciones lineales enteras de n vectores linealmente independientes. Los lattices de primer tipo son especiales porque poseen la propiedad de tener superbase obtusa. Esta característica se traduce en que debe existir un conjunto de n+1 vectores del lattice donde la suma de todos estos vectores sea cero, donde cualquier subconjunto de n vectores es una base del mismo, y el producto interno de cualquiera dos de estos vectores es negativo. La región de puntos que están más cerca de v ∈ Λ que de cualquier otro punto de Λ se conoce como la celda de Voronoi en v.Publicación Acceso abierto La constante de cuantización para retículos euclidianos de Tipo I en las primeras dimensiones superiores(Universidad del Valle, 2025-10) Iquinás Volverás Norida Manuela; velasquez soto, Juan Miguel; GRUPO DE INVESTIGACIÓNEn este trabajo de investigación se pretende realizar una compilación de conceptos y resultados concernientes a la teoría de retículos euclidianos (o lattices), como también de algunos elementos de la teoría de grafos y la combinatoria, con el objetivo de estudiar el problema del retículo cuantizador óptimo. Dicho estudio nos permite, en algunas dimensiones, brindar una fórmula de la constante de cuantización para lattices de Tipo I, en función de los parámetros de Selling. La estrategia para calcular la fórmula de la constante de cuantización consiste en realizar una descripción de la celda de Voronoi del lattice, la cual nos permite obtener una partición en símplices de la celda, y por medio de un resultado expuesto por Conway y Sloane se logra deducir la fórmula. En este proceso se utilizan algoritmos ejecutados en SageMath para verificar las cuentas. Luego, con la fórmula hallada, se hace un estudio numérico de la fórmula, lo cual permite verificar algunos resultados establecidos, con relación a la constante de cuantización para lattices de primer tipo, ésto también se lleva a cabo por medio de algoritmos realizados en SageMath.Publicación Acceso abierto Deformación conforme de métricas sobre una variedad cuya frontera tiene dos componentes conexas(Universidad del Valle, 2016) Espinal Florez, María Fernanda; García Camacho, GonzáloDada una variedad Riemanniana suave (M; g) n-dimensional, n 3, cuya frontera @M es la unión de dos componentes conexas (@M)1 y (@M)2 se plantea el problema de prescribir tanto la curvatura escalar como la curvatura media de la frontera. El problema de estudio consiste en demostrar la existencia de una métrica ~g puntualmente conforme a la métrica g de tal manera que la curvatura escalar con la nueva métrica sea ~R 0 y la curvatura media sobre la frontera ~hi sea constante sobre cada una de las componentes conexas (@M)i para i = 1; 2 con ~h1 6= ~h2. El problema es equivalente a encontrar una solución positiva suave u de tal manera que ~g = u 4 n¿2 g donde u es solución del problema de valor inicial.Publicación Acceso abierto Una dualidad tipo Gelfand - Priestley(Universidad de Valle, 2017) Tosse Urbano, Luz Karime; Ortiz Rico, GuillermoLa teoría de categorías como herramienta matemática, juega un papel fundamental en el estudio de estructuras algebraicas y está siendo utilizada principalmente en ciencias de la computación y lógica multivaluada. Al establecer una equivalencia o equivalencia dual entre dos categorías, es posible intercambiar construcciones de la primera a la segunda y viceversa. En [7], Cignoli, Dubuc y Mundici probaron una equivalencia dual entre las categorías MV S[0, 1] de las MV -álgebras semisimples y la categoría Hauss de los espacios Haus- dorf compactos. Por su parte, en [30] J. Varela muestra la dualidad de Gelfand, entre las categorías Hauss y C ¿ (C) de las álgebras de Banach con unidad e involución. En este trabajo de investigación haremos un análisis de los funtores involucrados en estas dualidades, para presentar una equivalencia entre las categorías MV S[0, 1] y C * (C).Publicación Acceso abierto Estimativo al primer valor propio para superficies mínimas compactas inmersas en Sn+1 (n ≥ 2)(Universidad del Valle, 2014) Castrillón Vásquez, Andrés Julián; García Camacho, GonzáloEn 1982 el profesor Shing Tung Yau conjetura que el primer valor propio ¿1(M) del laplaciano de una hipersuperficie sin borde, orientable, mínima y conexa inmersa en Sn+1 es igual a n. En 1983 Hyeong In Choi y Ai-nuig Wang prueban que ¿1 ¿ n 2; en el a¿no 2004 Huang Xuango demuestra que la conjetura de Yau se cumple para n ¿ 3, y en el año 2007 Jaig Young Choe junto con Mart Soret demuestran que si M ¿ S3 es una superficie sim´etrica, entonces ¿1 = 2. En este trabajo presentamos los conceptos básicos de geometría diferencial necesarios para demostrar con detalle los resultados de Choi y Wang, junto con los de Barros y Bessa; al igual que el teorema 3.3.2 del artículo de Choe and Soret el cual menciona que el primer valor propio ¿1(M) = 2 donde M es la superficie de Lawson ¿m,k.vPublicación Acceso abierto Estimativos Lp para operadores pseudo-diferenciales en Zn(Universidad del Valle, 2011) Rodríguez Torijano, Carlos Andrés; Delgado Valencia, Julio CesarEn esta tesis desarrollamos los fundamentos necesarios para tener un cálculo simbólico discreto y hallamos estimativos L p (Zn). Se usan teoremas de interpolación compleja y algunos resultados de la teoría de la medida para obtener dichos estimativos L p (Zn). La compacidad de estos operadores también es tratada. El estudio de la continuidad tipo - (p, q) de los operadores lineales en Z n enmarca uno de los resultados más relevantes de la investigación. En la tesis se demuestra una gran variedad de resultados de entre los cuales los teoremas principales son los teoremas 2.3.2 y 2.5.3 pues dan una muestra de que la teoría de los operadores pseudo-diferenciales en Z n tiene su propia identidad y que está lejos de ser tan sólo una adaptación de la teoría del caso realPublicación Acceso abierto Estudio analítico y numérico de un sistema de Stokes no homogéneo planar con densidad y viscosidad variables(Universidad del Valle, 2024) González Betancourth, Edward Duván; Muñoz Grajales, Juan CarlosEn este trabajo de grado estudiamos el sistema de Stokes no homogéneo estacionario, bidimensional con densidad y viscosidad variables en un dominio planar Ω ⊂ R2 en forma de canal rectangular estudiado en el cual describe el flujo de un fluido viscoso en un canal rectangular tomando en cuenta los efectos de fricción contra las paredes del canal. La estrategia es reformular el sistema diferencial original en una formulación integral escribiendo la densidad en términos de la función de corriente, para la cual se establece la existencia y unicidad de soluciones débiles con ayuda de los teoremas de punto fijo de Schauder. Además, se deduce otra formulación integral apropiada para el sistema de Stokes, para la cual se facilita la implementación de un esquema numérico basado en el método de los elementos finitos, utilizando la librería FeniCS sobre Python. Finalmente, se presentan los resultados de experimentos numéricos para algunos valores constantes de la densidad y viscosidad utilizando el esquema numérico propuesto.Publicación Acceso abierto Estudio de la Dinámica de Diaphorina Citri en presencia de Tamarixia Radiata y otros enemigos naturales(Universidad del Valle, 2024) Cruz Builes, Edward Adrián; MARTINEZ, HECTOR JAIRO; ANÁLISIS NUMÉRICO Y OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS (ANOPI)La modelación matemática de la dinámica poblacional de Diaphorina citri resulta fundamental para el diseño de estrategias de control biológico y la prevención de su impacto en la citricultura. Este trabajo de grado desarrolla un modelo mejorado basado en el estudio previo propuesto por investigadores cubanos [11], identificando y corrigiendo inconsistencias en la interpretación y modelación de las interacciones ecológicas del sistema. A partir de una revisión crítica del modelo propuesto por los investigadores, se detectaron fallas en la definición de variables y en la representación de términos que no reflejan adecuadamente la dinámica biológica de Diaphorina citri y sus enemigos naturales. En este trabajo de investigación se propone un nuevo modelo matemático que incorpora de manera precisa las interacciones del insecto fitófago Diaphorina citri con sus enemigos naturales, la avispa parasitoide Tamarixia radiata, el hongo entomopatógeno Hirsutella citriformis y los depredadores generalistas, Cycloneda sanguínea y Chrysopidae. Este modelo ajustado considera todas las etapas del ciclo de vida de Diaphorina citri, su influencia en los brotes sanos de árboles cítricos en su reproducción, y la interacción con sus controladores biológicos; considera también las etapas de vida de Tamarixia radiata, y el aporte en el control biológico del insecto fitófago, con hongos y depredadores. El modelo fue sometido a un riguroso análisis cualitativo determinando sus puntos de equilibrio, algunos de forma analítica, y otros de forma numérica desde el Método Monte Carlo; luego hacemos el respectivo análisis de estabilidad para estos puntos de equilibrio. Los resultados obtenidos permiten establecer una base teórica más robusta para el manejo integrado de Diaphorina citri y contribuir a estrategias de control biológico más eficientes. Se concluye que la presencia de Tamarixia radiata, Hirsutella citriformis y los depredadores son determinantes en la regulación de Diaphorina citri.Publicación Acceso abierto Un estudio de propagación de tuberculosis a partir del modelamiento epidemiológico(Universidad del Valle, 2022) Bastidas Santacruz, Hanner Estiven; Vasilieva, Olga; ANÁLISIS NUMÉRICO Y OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS (ANOPI)La tuberculosis pulmonar (TB) es un problema de salud pública en muchos países del mundo y constituye una de las principales causas de morbilidad y mortalidad. La tuberculosis es causada por una especie de bacteria patógena llamada Mycobacterium tuberculosis o bacilo de Koch. Las bacterias pueden atacar cualquier parte del cuerpo, pero generalmente atacan los pulmones. Una persona susceptible puede infectarse al inhalar bacilos en el aire. Una característica epidemiológica notable de la TB es su largo período de latencia, durante el cual una persona lleva los bacilos pero no puede propagar la enfermedad a otros. Las personas latentes cuyos sistemas inmunes están debilitados debido a la desnutrición o comorbilidades (influenza, neumonía, COVID19, enfermedad renal, diabetes, etc.) o aquellos que reciben tratamientos inmunosupresores para el VIH, cáncer o trasplantes pueden desarrollar una forma activa de tuberculosis en cualquier momento, y luego deberían requerir tratamiento. Varios estudios han señalado que los pacientes con una forma activa de TB no siempre completan el tratamiento, y el abandono del tratamiento se produce debido a diferentes factores. Entre ellos, están los factores relacionados con el paciente (como baja renta, desempleo, analfabetismo), los factores relacionados con los servicios de salud (menor disponibilidad, acceso intermitente y estructura burocrática) y los factores relacionados con las características del tratamiento en sí (larga duración y posiblemente efectos adversos). Por lo tanto, es importante tener en cuenta estos factores en el modelado matemático de la transmisión de TB.Publicación Acceso abierto Hipersuperficies espaciales del espacio de de Sitter(Universidad del Valle, 2024) Benavides Luna, Jeison; Mesa, HeberEn este trabajo de investigación se introduce un modelo esterográfico para el espacio de de Sitter, el cual es visualmente acotado y topológicamente un anillo abierto. En este modelo, la frontera asintótica del espacio de de Sitter se determina como la unión de dos esferas disjuntas y se caracterizan las geodésicas a través de lineas y círculos euclidianos. Además, se prueba que las inmersiones propias y espaciales de variedades completas y no compactas en el espacio de de Sitter son tangentes a la frontera asintótica. A través de la fórmula de representación presentada por A. Roldán se estudian las inmersiones espaciales de dominios esféricos en el espacio de de Sitter, obteniendo una correspondencia entre la familia de hipersuperficies espaciales totalmente umbilicales satisfaciendo |H| > 1 y la familia de bolas totalmente geodésicas de una de las componentes conexas de la frontera asintótica del espacio de de Sitter.Publicación Acceso abierto Una introducción a la teoría de códigos convolucionales(Universidad de Valle, 2018) Guerrero Pantoja, Viviana Carolina; Castillo Gómez, John Hermes; Velásquez Soto, Juan MiguelLa teoría de codificación es una de las diversas ramas de la matemática que es atractiva debido a la interacción activa entre las invenciones sofisticadas de ingeniería y las matemáticas abstractas. En este documento se presentan algunos de los conceptos básicos de los códigos convolucionales, los cuales son un tipo de códigos correctores de errores diferentes de los códigos de bloque, cuya principal diferencia entre ellos es la introducción del concepto de memoria para el caso convolucional. Sin embargo, se muestra que algunas de las definiciones aplicables a los códigos de bloque lineales y cíclicos pueden darse también en el contexto de los códigos convolucionales. Además, se expone cómo construir el codificador físico de un código convolucional, cuatro representaciones analíticas y dos representaciones gráficas para realizar el proceso de codificación y la forma de pasar de una representación a otra. También se presenta una breve descripción de los códigos convolucionales cíclico tomando como principal referencia el artículo ¿On Cyclic Convolutional Codes¿ de la autoría de Heide Gluesing-Luerssen y Wiland Schmale del año 2004. En este trabajo se muestra como el programa computacional SAGE es una herramienta útil para facilitar algunos cálculos, que a mano pueden resultar tediosos; permitiendo exhibir ejemplos más grandes a los que suelen encontrarse en la literatura. Este objetivo se logra a partir de la implementación de algoritmos basados en los conceptos aquí presentados.Publicación Acceso abierto Una introducción a la teoría de haces y esquemas [recurso electrónico](Universidad del Valle, 2017) Rivera Nene, Yazmin; Garzon Rojas, AlvaroA grandes rasgos, la Geometría Algebraica es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas en el espacio afín o proyectivo; es decir, es el estudio de las variedades algebraicas. De ahí que, el problema principal de la Geometría Algebraica es la clasificación de las variedades. Aquí no pretendemos estudiar dicha clasificación, pero sí buscamos adquirir el lenguaje y las herramientas necesarias como un primer paso para abordar dicho problema. André Weil y Alexander Grothendieck presentaron dos fundamentaciones de la Geometría Algebraica, con lenguajes absolutamente distintos, tanto que ir de un lado a otro es un procedimiento muy complejo, de ahí que se concibieron como incompatibles. Es de resaltar que aunque ambas fundamentaciones son grandes obras de la matemática, fue Alexander Grothendieck quien encontró la forma más adecuada de conectar la Geometría Algebraica y el Álgebra conmutativa mediante la teoría de esquemas, permitiendo así reducir algunos problemas geométricos a problemas del álgebra conmutativa, los cuales pueden ser tratados sin la necesidad de tener mucha familiaridad con la geometría. En éste trabajo seguimos los lineamientos de la teoría expuesta por Grothendieck. Así que haremos una introducción a la teoría de haces y esquemas exhibiendo algunos de los resultados más relevantes y partiendo del supuesto que se tiene un buen manejo del Álgebra Conmutativa.Publicación Acceso abierto La Wavelet Shannon aplicada al canto de las ballenas jorobadas(Universidad del Valle, 2012) Castillo Ponce, Rocío; HINESTROZA, DORISEn este trabajo de investigación se presenta una aplicación de la transformada Wavelet Shannon Real en la búsqueda y definición de patrones en señales de audio generadas por los sonidos repetitivos que verían en amplitud y frecuencia, conocidos como el canto de la ballena jorobada o Yubartas (Megaptera novaeangliae). Para la búsqueda de estos patrones inicialmente se aplica diferentes técnicas a las señales originales para eliminar silencios largos y ciertas componentes de frecuencias que no son necesarios para el análisis, obteniendo como resultado una señal más clara, la cual se procedió a segmentarla en trozos y aplicar la Waveltet Shannon Real a cada uno de los trozos obtenidos, esto se hizo haciendo uso del sofware Matlab y su Tolboox wavelet, obteniendo como resultado gráficas representativas de la parte real y parte imaginaria de la transformada wavelet Shannon. Como las herramientas de Matlab no posee la wavelet Shannon Real se realizó un cálculo matemático y el desarrollo de una corta aplicación para determinar los coeficientes y su grafica. Para ciertos valores de los parámetros real Fc e imaginario Fb, se considera entonces la parte real como la gráfica de la wavelet Shannon Real. Se observó cada una de las gráficas junto a otras dentro del mismo canto de las ballenas en la misma fecha y en diferentes fechas buscando similitudes entre ellas, en este análisis visual la repetición de estas graficas representan un patrón, todas las gráficas pertenecientes a un patrón se recogieron en una misma imagen para comparar mejor su semejanza. Se encontró que los las ballenas jorobada o Yubartas repiten trozos de su canto en diferentes instantes de tiempo.Publicación Acceso abierto Un método de elementos finitos precondicionado para la ecuación de Stokes 2D(Universidad del Valle, 2014) Mejía Rodríguez, Luis Fernando; Duque Arango, JairoEn este trabajo se considera el problema de Stokes dos dimensional para fluidos incompresibles en el dominio acotado ¿= [0.1]x [0.1]. Se implementa un método de elementos finitos mixtos para aproximar numéricamente la solución al problema de Stokes en sus variables originales (u.p) por (u.p), de este modo, nos encontramos con un sistema de la forma (M/B B/0) (U/P) =(F/0).Publicación Acceso abierto Métodos de regularización para el procesamiento de imágenes ruidosas(Universidad de Valle, 2017) Pizo Quira, Deissy Marcela; Hinestroza Gutiérrez, DorisEn este trabajo se hace una presentacion del problema de restauración de imágenes ruidosas el cual es un problema inverso mal condicionado, se hace un análisis de dos métodos de regularización que se usan para encontrar buenas soluciones de dicho problema aun en presencia de errores. En el capitulo 1 se hace una introducción de nociones básicas de espacios de Hilbert, operadores compactos y valores singulares. En el capitulo 2 se hace una introducci ¿on a los problemas inversos y algunos ejemplos de inter ¿es. En el capitulo 3 se hace una breve introducci ¿on a la definici ¿on de imagen, formalizaci ¿on del problema en im ¿agenes ruidosas y su correspondiente representaci ¿on matem ¿atica. En el capitulo 4 se hace una presentaci ¿on de los esquemas de regularizaci ¿on usados para la soluci ¿on del problema y en el capitulo 5 el m ¿etodo general que es la combinaci ¿on de dos m ¿etodos como es el truncamiento espectral y la regularizaci ¿on de Tikhonov.Publicación Acceso abierto Un modelo estocástico para las figuras de Chladni.(Universidad del Valle, 2013) Reyes Kreie, Carlos Andrés; Arango Cabarcas, Jaime AlfonsoA finales del siglo XVIII, E. Chladni observa que la arena fina, esparcida al azar sobre una placa, se reacomoda formando bellos patrones predecibles cuando se excita la placa con una fuerza externa apropiada. Al frotar su borde con un arco de violín, la placa entra en resonancia con una de sus frecuencias naturales y la arena se acomoda sobre las líneas nodales del modo de vibración correspondiente. En este trabajo se propone un modelo plausible en el que la posición de las partículas obedece una ecuación diferencial estocástica (EDE) relativamente simple. El resultado principal muestra que los puntos que conforman las líneas nodales del modo de vibración resonante, son equilibrios estocásticamente estables de la EDE. Para validar el modelo se comparan simulaciones estócasticas con algunos resultados experimentales y las líneas nodales de placas empotradas y placas con frontera libre.